Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. a)
,
Resp. a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é o dos fatores integrantes, que ajudam a tornar a equação exata, ou seja, facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar encontrar esse fator integrante e então integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
. Chamemos esse fator de
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Para que a equação seja exata, deve valer:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Igualando as duas:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Como
é uma constante, podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 7
Multiplicando toda a equação original por
:
Agora, a equação é exata. Vamos integrar
em relação a
:
Então, a função potencial
é:
Passo 8
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Como isso deve ser igual a
, concluímos que
, então
é uma constante.
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação é dada por:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
;
Resp. .
Resp.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
.
- Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo , então
será um vetor.
Calcule a integral dupla sobre a região
dada.