Determine um fator integrante e resolva. ;
Resp. a) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é o dos fatores integrantes, que ajudam a tornar a equação exata, ou seja, facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar encontrar esse fator integrante e então integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de . Chamemos esse fator de . Multiplicando a equação original por , temos:
Para que a equação seja exata, deve valer:

Passo 5

Calculando as derivadas:
Igualando as duas:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Como é uma constante, podemos escolher para simplificar, então:

Passo 7

Multiplicando toda a equação original por :
Agora, a equação é exata. Vamos integrar em relação a :
Então, a função potencial é:

Passo 8

Derivando em relação a e igualando a :
Como isso deve ser igual a , concluímos que , então é uma constante.

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação é dada por:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO não homogêneas. ;
Resp. .
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. .
  1. Se for uma função vetorial que é contínua no intervalo , então
será um vetor.
Calcule a integral dupla sobre a região dada.