Calcule a integral dupla sobre a região R dada. integral duplaR(6 y^2-2 x) d A, R=[0,1] times[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a questão pediu. O enunciado nos dá uma região R que é um retângulo definido por [0,1] times [0,2] e a função que precisamos integrar é 6y^2 - 2x. Então, vamos usar o conhecimento de integração dupla para calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região R é um retângulo com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 2, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Vamos escolher integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Assim, a integral fica:
integral0^2 integral0^1 (6y^2 - 2x) , dx , dy

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a x. Trata-se de integrar 6y^2 - 2x em x, mantendo y constante:
integral0^1 (6y^2 - 2x) , dx = 6y^2 integral0^1 dx - 2 integral0^1 x , dx
Calculando cada parte:
6y^2 cdot [x]0^1 = 6y^2 (1 - 0) = 6y^2
-2 cdot [ x^22 ]0^1 = -2 ( 12 - 0 ) = -1
Então, a integral interna resulta em:
6y^2 - 1

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a y de 0 a 2:
integral0^2 (6y^2 - 1) , dy = 6 integral0^2 y^2 , dy - integral0^2 1 , dy
Calculando cada parte:
6 cdot [ y^33 ]0^2 = 6 ( 83 - 0 ) = 16
- cdot [y]0^2 = - (2 - 0) = -2
Somando tudo:
16 - 2 = 14

Resposta

A integral dupla vale 14.

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