Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar a região onde vamos integrar e, em seguida, calcular a integral dupla . Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para esboçar a região.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração. Os limites de integração são variando de 0 a 1 e variando de a . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, começa no valor de e vai até o dobro de . No gráfico, isso forma uma região triangular entre as linhas , , , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna . Para isso, tratamos como constante em relação a e integramos termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de de a :

Passo 4

Com a integral interna resolvida, agora integramos o resultado em relação a de 0 a 1:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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  1. Se for uma função vetorial que é contínua no intervalo , então
será um vetor.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
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