Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo. integral0^1 integralx^2 x(2 x+2 y) d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar a região onde vamos integrar e, em seguida, calcular a integral dupla . Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para esboçar a região.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração. Os limites de integração são variando de 0 a 1 e variando de a . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, começa no valor de e vai até o dobro de . No gráfico, isso forma uma região triangular entre as linhas , , , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna integral (2x + 2y) , dy = 2x integral dy + 2 integral y , dy = 2x y + y^2 + C . Para isso, tratamos 2x(2x) + (2x)^2 - [2x(x) + x^2] = 4x^2 + 4x^2 - (2x^2 + x^2) = 8x^2 - 3x^2 = 5x^2 como constante em relação a e integramos termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de de a :

Passo 4

Com a integral interna resolvida, agora integramos o resultado em relação a integral0^1 5x^2 , dx de 0 a 1:
5 cdot x^33 = 5x^33
A integral de 5(1)^33 - 5(0)^33 = 53 - 0 = 53 em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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