Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar a região onde vamos integrar e, em seguida, calcular a integral dupla
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para esboçar a região.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração. Os limites de integração são
variando de 0 a 1 e
variando de
a
. Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
começa no valor de
e vai até o dobro de
. No gráfico, isso forma uma região triangular entre as linhas
,
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna
. Para isso, tratamos
como constante em relação a
e integramos termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de
de
a
:
Passo 4
Com a integral interna resolvida, agora integramos o resultado em relação a
de 0 a 1:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla sobre a região
dada.
- Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo , então
será um vetor.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.