45-48 Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
45. y'(t) = 2t i + 3t^2 j, y(0) = i - j

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial vetorial para encontrar a função . O conteúdo envolvido é cálculo, especificamente integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função derivada dada:
Isso significa que a derivada da função em relação ao tempo tem duas componentes: uma na direção e outra na direção .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar cada componente da derivada em relação a :
Vamos integrar componente por componente.

Passo 4

Integrando a componente na direção :
Onde é a constante de integração para a componente .

Passo 5

Agora, integrando a componente na direção :
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 6

Agora, juntamos as duas componentes integradas para obter a função :

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar as constantes e . Sabemos que . Substituindo na expressão de :
Comparando com , temos:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas, a solução para é:

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