45-48 Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
45.
45.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial vetorial para encontrar a função
. O conteúdo envolvido é cálculo, especificamente integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente do vetor
e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função derivada dada:
Isso significa que a derivada da função
em relação ao tempo
tem duas componentes: uma na direção
e outra na direção
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar cada componente da derivada em relação a
:
Vamos integrar componente por componente.
Passo 4
Integrando a componente na direção
:
Onde
é a constante de integração para a componente
.
Passo 5
Agora, integrando a componente na direção
:
Aqui,
é a constante de integração para a componente
.
Passo 6
Agora, juntamos as duas componentes integradas para obter a função
:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial para encontrar as constantes
e
. Sabemos que
. Substituindo
na expressão de
:
Comparando com
, temos:
Resposta
Substituindo as constantes encontradas, a solução para
é:
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no ponto
intersecta o plano
.