Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que a gente já conhece, tipo exponenciais, polinômios, etc. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular dessa equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Assim, temos dois valores de
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma soma de uma exponencial
e um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja a soma de duas partes: uma para a exponencial e outra para o polinômio.
Passo 6
Primeiro, para a parte
, supomos uma solução da forma
. Vamos derivar e substituir na equação.
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para a exponencial é
.
Passo 7
Agora, para a parte
, supomos uma solução da forma
. Vamos derivar e substituir na equação.
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para o polinômio é
.
Passo 8
A solução particular geral é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
45-48 Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
45.
45.
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
- Determine em que ponto a reta tangente à curva
no ponto
intersecta o plano
.
Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)