Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que a gente já conhece, tipo exponenciais, polinômios, etc. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular dessa equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, escrevemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Assim, temos dois valores de :

Passo 4

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma soma de uma exponencial e um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja a soma de duas partes: uma para a exponencial e outra para o polinômio.

Passo 6

Primeiro, para a parte , supomos uma solução da forma . Vamos derivar e substituir na equação.
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para a exponencial é .

Passo 7

Agora, para a parte , supomos uma solução da forma . Vamos derivar e substituir na equação.
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para o polinômio é .

Passo 8

A solução particular geral é a soma das duas soluções particulares encontradas:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

45-48 Resolva o problema de valor inicial vetorial para por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
45.
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
  1. Determine em que ponto a reta tangente à curva
no ponto intersecta o plano .
Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)