1. Determine em que ponto a reta tangente à curva
r = e^(-2t) i + cos(t) j + 3 sen(t) k
no ponto (1, 1, 0) intersecta o plano y z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial . O objetivo é descobrir em qual ponto a reta tangente a essa curva, no ponto específico , intercepta o plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto na curva . Isso significa resolver:
Resolvendo essas equações:
  • implica que , então .
  • e , o que confirma que é o valor correto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente :
Avaliando em :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 5

Queremos encontrar o ponto onde essa reta intercepta o plano . O plano é definido por . Então, igualamos a equação de a zero:
Agora, substituímos nas equações de e :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto intercepta o plano no ponto .

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