1. Determine em que ponto a reta tangente à curva
no ponto intersecta o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial . O objetivo é descobrir em qual ponto a reta tangente a essa curva, no ponto específico , intercepta o plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto na curva . Isso significa resolver:
Resolvendo essas equações:
  • implica que , então .
  • e , o que confirma que é o valor correto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente :
Avaliando em :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 5

Queremos encontrar o ponto onde essa reta intercepta o plano . O plano é definido por . Então, igualamos a equação de a zero:
Agora, substituímos nas equações de e :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto intercepta o plano no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
45-48 Resolva o problema de valor inicial vetorial para por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
45.
Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)
Calcule, se existir, o valor do limite: