Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial . O objetivo é descobrir em qual ponto a reta tangente a essa curva, no ponto específico , intercepta o plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto na curva . Isso significa resolver:
Resolvendo essas equações:
implica que , então .
e , o que confirma que é o valor correto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente :
Avaliando em :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 5
Queremos encontrar o ponto onde essa reta intercepta o plano . O plano é definido por . Então, igualamos a equação de a zero:
Agora, substituímos nas equações de e :
Resposta
A reta tangente à curva no ponto intercepta o plano no ponto .