Resolva o problema de valor inicial
y'' + 9y = 0, y(0) = -2, y'(0) = -12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada, que é:
Resolvendo essa equação para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial vai ser:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Então:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial . Vamos derivar :
Agora, substituímos :
Sabemos que , então:

Resposta

Com as constantes encontradas, a solução particular da equação diferencial é:

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