Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
. Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada, que é:
Resolvendo essa equação para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial vai ser:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Então:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial
. Vamos derivar
:
Agora, substituímos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Com as constantes encontradas, a solução particular da equação diferencial é: