Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O.)
. A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo da direita é
e não é solução da equação homogênea (já que
não é igual a
nem a
), podemos assumir uma solução da forma:
Onde
é a constante que vamos determinar.
Passo 5
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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