Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O.) . A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo da direita é e não é solução da equação homogênea (já que não é igual a nem a ), podemos assumir uma solução da forma:
Onde é a constante que vamos determinar.

Passo 5

Derivando :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Portanto:

Passo 6

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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