45 - Uma corda, de
de comprimento e fixa nas duas pontas, está vibrando em seu terceiro harmônico. O deslocamento máximo de qualquer ponto da corda é
. A rapidez de ondas transversais nesta corda
. (a) Quais saio o comprimento de onda e a frequêencia desta onda estacionária? (b) Escreva a função de onda para esta onda estacionária.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda de 3,00 metros de comprimento, fixa nas duas pontas, vibrando no seu terceiro harmônico. Sabemos que a velocidade das ondas transversais na corda é de 650,0 m/s e o deslocamento máximo é de 4,00 mm. Precisamos encontrar, na parte (a), o comprimento de onda e a frequência dessa onda estacionária, e na parte (b), escrever a função de onda correspondente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, especialmente a relação entre comprimento da corda, harmônicos, comprimento de onda, e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um harmônico. Em uma corda fixa nas duas pontas, os harmônicos são as diferentes vibrações possíveis. O primeiro harmônico é a vibração mais simples, com uma única antinode no meio. O segundo harmônico tem duas, e assim por diante. Aqui estamos lidando com o terceiro harmônico.
A fórmula que relaciona o comprimento da corda (L) com o número do harmônico (n) e o comprimento de onda (λ) é:
Onde:
-
é o comprimento da corda, -
é o número do harmônico, -
é o comprimento de onda.
Passo 3
Vamos usar essa fórmula para encontrar o comprimento de onda (
). Sabemos que
m e
(terceiro harmônico). Substituindo na fórmula:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por 2 e dividimos por 3:
[ \lambda = \frac{2 \times 3,00}{3} = 2,00 ) m
Passo 4
Agora que temos o comprimento de onda, podemos encontrar a frequência (
). A relação entre velocidade (
), frequência (
) e comprimento de onda (
) é dada por:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores conhecidos (
m/s e
m):
[ f = \frac{650,0}{2,00} = 325,0 ) Hz
Resposta
(a) O comprimento de onda é
metros e a frequência é
Hz.
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