Eremplo24: Oscilador L C
Um capacitor de 2,0 mu F é carregado a 20 Ve entāo, conectado a um indutor de 6,0 mu H. (a) Qual é a frequuência de oscilaçâo? (b) Qual é o valor de pico da corrente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador LC, que é um circuito formado por um indutor (L) e um capacitor ©. Aqui, temos um capacitor de 2,0 μF carregado a 20 V e conectado a um indutor de 6,0 μH. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A frequência de oscilação desse circuito.
b) O valor de pico da corrente que vai circular no indutor.
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas que relacionam os elementos de um circuito LC e entender como a energia é armazenada e transferida entre o capacitor e o indutor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência de oscilação do circuito LC. A frequência f = 12piraizLC de um oscilador LC é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a indutância do indutor em henries (H).
  • é a capacitância do capacitor em farads (F).
  • é aproximadamente 3,1416.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, precisamos converter as unidades para o Sistema Internacional:
  • Indutância f = 12piraiz(6,0 times 10^-6 , H)(2,0 times 10^-6 , F) H
  • Capacitância F
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular o valor dentro da raiz primeiro:
LC = (6,0 times 10^-6)(2,0 times 10^-6) = 12,0 times 10^-12 , H cdot F
Agora, a raiz quadrada de raiz12,0 times 10^-12 = raiz12,0 times 10^-6 approx 3,4641 times 10^-6 , segundos :

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula da frequência:
f = 12pi times 3,4641 times 10^-6 approx 12 times 3,1416 times 3,4641 times 10^-6
Calculando o denominador:
2 times 3,1416 times 3,4641 times 10^-6 approx 2,1760 times 10^-5
Logo,
f approx 12,1760 times 10^-5 approx 45.96 times 10^3 , Hz

Passo 6

Arredondando, a frequência de oscilação é aproximadamente 46 kHz.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de pico da corrente no oscilador LC. Quando o capacitor está totalmente descarregado e a energia é totalmente transferida para o indutor, a corrente atinge seu valor máximo. A energia armazenada no capacitor inicialmente é igual à energia armazenada no indutor na corrente de pico.
A energia no capacitor é dada por:
E = 12 C V^2
E a energia no indutor é:
E = 12 L Imax^2
Igualando as duas expressões:
12 C V^2 = 12 L Imax^2

Passo 8

Simplificando a equação:
C V^2 = L Imax^2
Isolando Imax = V raizCL :

Passo 9

Substituindo os valores:
Imax = 20 , V times raiz2,0 times 10^-6 , F6,0 times 10^-6 , H = 20 times raiz13 approx 20 times 0,5774 approx 11,55 , A

Resposta

a) A frequência de oscilação é aproximadamente 46 kHz.
b) O valor de pico da corrente é cerca de 11,55 A.

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