g(t)=46331+59.97 e^-0.2567 t+12000
em que t é o número de anos desde o final de 1980. Calcule
lim t infty g(t)
e interprete seu resultado em um contexto do mundo real.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma função que mostra como algo muda ao longo do tempo desde o final de 1980. A questão pede para a gente calcular o limite dessa função quando o tempo (t) vai para o infinito, ou seja, o que acontece a função lá na frente. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de limites e comportamento de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que temos:
g(t) = 46331 + 59.97 e^-0.2567 t + 12000
Nosso objetivo é encontrar:
limt infty g(t)
Isso significa que queremos saber qual valor g(t) vai se aproximar quando t fica muito, muito grande.

Passo 3

Vamos analisar o termo complicado na função, que é:
46331 + 59.97 e^-0.2567 t
O que acontece com esse termo quando t tende ao infinito? Bem, observe a parte exponencial: e^-0.2567 t. Como t está indo para o infinito, o expoente -0.2567 t vai para menos infinito, porque estamos multiplicando um número negativo por um número que cresce sem limites.

Passo 4

Sabemos que e^-x, quando x tende ao infinito positivo, tende a zero. Portanto:
limt infty e^-0.2567 t = 0
Isso simplifica nosso denominador:
1 + 59.97 times 0 = 1 + 0 = 1

Passo 5

Agora, substituindo de volta na função original:
46331 + 12000 = 4633 + 12000 = 16633

Resposta

O limite de g(t) quando t tende ao infinito é 16633. Isso significa que, no contexto real, o valor representado por g(t) vai se estabilizar em 16.633 unidades no longo prazo.

Exercícios relacionados