$(47)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! A questão pede pra gente calcular a soma infinita de uma série que envolve frações com termos que dependem de
. A matéria que vamos usar é sobre séries numéricas, especificamente séries telescópicas. Para resolver, a gente vai precisar entender como certas partes da soma se cancelam quando a gente soma muitos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série:
A gente pode começar fatorando o 5 fora das frações para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos entender o que está dentro da soma. A expressão
é uma diferença que vai fazer com que muitos termos se anulem quando a gente soma vários deles. Isso é o que chamamos de série telescópica porque, como em um telescópio, as partes internas se cancelam.
Passo 4
Vamos ver como fica somando os primeiros termos para visualizar esse cancelamento:
Observe que
e
se cancelam,
e
também, e assim por diante. No final, os únicos termos que não se cancelam são o primeiro termo
e o último termo que vai diminuindo com
indo para infinito.
Passo 5
Como estamos somando até o infinito, o último termo que sobra é praticamente zero, porque
tende a 0 conforme
cresce. Então, a soma total fica apenas:
Resposta
O valor da soma infinita é
.
Exercícios relacionados
Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
(f)
(f)
a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.
b) Se , calcule
b) Se
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .
(d) Calcule
Justifique as seguintes igualdades:
(b)
(b)