$(47)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! A questão pede pra gente calcular a soma infinita de uma série que envolve frações com termos que dependem de . A matéria que vamos usar é sobre séries numéricas, especificamente séries telescópicas. Para resolver, a gente vai precisar entender como certas partes da soma se cancelam quando a gente soma muitos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série:
A gente pode começar fatorando o 5 fora das frações para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos entender o que está dentro da soma. A expressão é uma diferença que vai fazer com que muitos termos se anulem quando a gente soma vários deles. Isso é o que chamamos de série telescópica porque, como em um telescópio, as partes internas se cancelam.

Passo 4

Vamos ver como fica somando os primeiros termos para visualizar esse cancelamento:
Observe que e se cancelam, e também, e assim por diante. No final, os únicos termos que não se cancelam são o primeiro termo e o último termo que vai diminuindo com indo para infinito.

Passo 5

Como estamos somando até o infinito, o último termo que sobra é praticamente zero, porque tende a 0 conforme cresce. Então, a soma total fica apenas:

Resposta

O valor da soma infinita é .

Exercícios relacionados

Dê o termo de ordem das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
(f)
a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.
b) Se , calcule
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .
Justifique as seguintes igualdades:
(b)