Justifique as seguintes igualdades:
(b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para justificar que a soma infinita é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar expressões complicadas e a somar termos de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na expressão dentro da soma: . Para facilitar a soma, vamos tentar quebrar essa fração em partes menores usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever a fração original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Para fazer isso, assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que tornam essa igualdade verdadeira. Para isso, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De
  2. Substituindo em :
  3. De :
  4. Substituindo , , e na segunda equação:

Passo 6

Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na soma infinita:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos. Vamos ver como isso funciona.

Passo 8

Escrevendo os primeiros termos da série:
Observamos que cancela com , cancela com , e assim por diante. Isso deixa apenas o primeiro termo não cancelado e o último termo que tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 9

Portanto, a soma da série é:

Resposta

Assim, justificamos que .

Exercícios relacionados

Considere a série para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .
$(47)
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que e que , então diverge.
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime e com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.