Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para justificar que a soma infinita é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar expressões complicadas e a somar termos de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na expressão dentro da soma: . Para facilitar a soma, vamos tentar quebrar essa fração em partes menores usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever a fração original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de somar.
Passo 3
Para fazer isso, assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que tornam essa igualdade verdadeira. Para isso, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De
Substituindo em : →
De : →
Substituindo , , e na segunda equação: →
Passo 6
Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na soma infinita:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos. Vamos ver como isso funciona.
Passo 8
Escrevendo os primeiros termos da série:
Observamos que cancela com , cancela com , e assim por diante. Isso deixa apenas o primeiro termo não cancelado e o último termo que tende a zero quando vai para o infinito.