Considere a série para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a série e precisamos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito, ou seja, . Isso envolve conceitos de séries infinitas e seu comportamento à medida que somamos mais termos.

Passo 2

Vamos começar separando a série em duas partes para facilitar a resolução:
Agora, temos duas séries que vamos calcular separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver . Essa é uma série geométrica onde cada termo é dividido por 2 mais uma vez a cada passo. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é quando .

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica:

Passo 5

Agora, vamos resolver . Para isso, usamos a fórmula da soma de uma série onde cada termo é multiplicado por :
Neste caso, .

Passo 6

Aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, voltamos à nossa expressão original:
Portanto, o limite da soma parcial quando tende ao infinito é .

Resposta

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$(47)
Dê o termo de ordem das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
(f)
Justifique as seguintes igualdades:
(b)
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que e que , então diverge.