Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule
.
(d) Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a série
e precisamos calcular o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e seu comportamento à medida que somamos mais termos.
Passo 2
Vamos começar separando a série em duas partes para facilitar a resolução:
Agora, temos duas séries que vamos calcular separadamente.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver
. Essa é uma série geométrica onde cada termo é dividido por 2 mais uma vez a cada passo. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita
é
quando
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da série geométrica:
Passo 5
Agora, vamos resolver
. Para isso, usamos a fórmula da soma de uma série onde cada termo é multiplicado por
:
Neste caso,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Agora, voltamos à nossa expressão original:
Portanto, o limite da soma parcial
quando
tende ao infinito é
.
Resposta
Exercícios relacionados
$(47)
Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
(f)
(f)
Justifique as seguintes igualdades:
(b)
(b)
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que e que
, então
diverge.
( ) Suponha que