a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.
b) Se
, calcule
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem um campo vetorial
definido por:
A questão tem duas partes:
a) Comparar com outro campo vetorial
do exercício anterior e verificar se
é conservativo.
b) Calcular a integral de linha de ao longo de uma curva parametrizada por
.
a) Comparar
b) Calcular a integral de linha de
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Embora não tenhamos o campo
aqui, o que precisamos saber é identificar se
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir um potencial escalar
tal que
. Outra maneira de verificar é checando se o rotacional de
é zero:
Isso porque, para campos conservativos, o rotacional é sempre nulo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que:
Vamos calcular cada componente:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando:
-
-
- Portanto, a componente
do rotacional é:
Passo 5
Da mesma forma, calculamos as outras componentes:
-
-
- Assim, a componente
também é zero:
Passo 6
Finalmente, para a componente
:
-
-
- Então, a componente
é:
Passo 7
Portanto, o rotacional de
é:
Como o rotacional não é zero, podemos concluir que
não é um campo conservativo.
Passo 8
Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a integral de linha:
onde a curva
é parametrizada por:
Passo 9
Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar
, a derivada da parametrização.
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Agora, avaliamos
na trajetória
:
Passo 12
A integral fica bastante complicada de resolver diretamente devido à complexidade das funções envolvidas. Porém, como já vimos que
não é conservativo, não podemos simplificar a integral usando um potencial. Portanto, precisaríamos resolver numericamente ou buscar simplificações específicas, o que está fora do escopo aqui.
Resposta
A integral de linha
não pode ser simplificada analiticamente devido à complexidade do campo
e à não conservação do mesmo. Portanto, a avaliação exata requer métodos numéricos.
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em uma sala com temperatura constante de
, que após uma hora, apresentava temperatura de
. Obs: pessoa viva.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
® ( ) Se é uma sequência constante, então
diverge;
® ( ) Se
Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
(f)
(f)
$(47)