a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.
b) Se , calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem um campo vetorial  definido por:
A questão tem duas partes:
a) Comparar  com outro campo vetorial  do exercício anterior e verificar se  é conservativo.
b) Calcular a integral de linha de  ao longo de uma curva parametrizada por  .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Embora não tenhamos o campo  aqui, o que precisamos saber é identificar se  é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir um potencial escalar  tal que  . Outra maneira de verificar é checando se o rotacional de  é zero:
Isso porque, para campos conservativos, o rotacional é sempre nulo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de  . Lembrando que:
Vamos calcular cada componente:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando:
  • Portanto, a componente  do rotacional é:

Passo 5

Da mesma forma, calculamos as outras componentes:
  • Assim, a componente  também é zero:

Passo 6

Finalmente, para a componente  :
  • Então, a componente  é:

Passo 7

Portanto, o rotacional de  é:
Como o rotacional não é zero, podemos concluir que  não é um campo conservativo.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a integral de linha:
onde a curva  é parametrizada por:

Passo 9

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar  , a derivada da parametrização.

Passo 10

Calculando  :

Passo 11

Agora, avaliamos  na trajetória  :

Passo 12

A integral fica bastante complicada de resolver diretamente devido à complexidade das funções envolvidas. Porém, como já vimos que  não é conservativo, não podemos simplificar a integral usando um potencial. Portanto, precisaríamos resolver numericamente ou buscar simplificações específicas, o que está fora do escopo aqui.

Resposta

A integral de linha  não pode ser simplificada analiticamente devido à complexidade do campo  e à não conservação do mesmo. Portanto, a avaliação exata requer métodos numéricos.

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(f)
$(47)