Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de termos que seguem um padrão específico. O enunciado pede para a gente identificar o termo geral de ordem
, verificar se a sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número conforme
cresce), encontrar esse limite caso exista, e também escrever o termo de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar entender de sequências, limites e fatoriais na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência apresentada:
Observamos que cada termo pode ser escrito como
, onde
(fatorial de
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Então, o termo geral de ordem
da sequência é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito mais r��pido que uma exponencial. De fato,
cresce super-exponencialmente, o que faz com que o limite seja zero.
Passo 5
Portanto, a sequência
converge, e o limite é:
Passo 6
Finalmente, vamos escrever o termo de ordem
:
Resposta
O termo de ordem
da sequência é
. A sequência converge para o limite
. O termo de ordem
é
.
Exercícios relacionados
a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.
b) Se , calcule
b) Se
Considerando a Lei do Resfriamento de Newton, obtenha a hora da morte de uma vítima encontrada às 15 h cuja temperatura era de
em uma sala com temperatura constante de
, que após uma hora, apresentava temperatura de
. Obs: pessoa viva.
$(47)
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .
(d) Calcule