1-49 Calcule a integral.
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- Se
, expresse o valor de
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício número 49:
. Neste exercício, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, a gente escolhe
como a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Sabemos que
, então:
Como estamos trabalhando com a integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração
por enquanto.
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrais que sobraram. Sabemos que:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
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- Encontre o valor médio da função
no intervalo . - Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição,
(b) a substituição,
© a identidade
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Seja
. Determine: (b)
Calcule a integral definida:
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então, dado
, teremos