1-49 Calcule a integral.

  1. integral sen^3 x cos ^2 x d x
  2. integral0^pi / 2 sen^7 theta cos ^5 theta d theta
  3. integral sen^2(pi x) cos ^5(pi x) d x
  4. integral0^pi / 2 cos ^2 theta d theta
  5. integral0^pi cos ^4(2 t) d t
  6. integral0^pi / 2 sen^2 x cos ^2 x d x
  7. integral t sen^2 t d t
  8. integral cos ^5 alpharaizsen alpha d alpha
  9. integral cos ^2 x tg^3 x d x
  10. integral cos x+sen 2 xsen x d x
  11. integral tg x sec ^3 x d x
  12. integral tg^2 x d x
  13. integral tg^4 x sec ^6 x d x
  14. integral0^pi / 3 tg^5 x sec ^4 x d x
  15. integral tg^3 x sec x d x
  16. integral tg^5 x d x
  17. integral x sec x tg x d x
  18. integralpi / 6^pi / 2 cotg^2 x d x
  19. integral sen^6 x cos ^3 x d x
  20. integral0^pi / 2 cos ^5 x d x
  21. integral sen^3(raizx)raizx d x
  22. integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta
  23. integral0^pi sen^2 t cos ^4 t d t
  24. integral0^pi / 2(2-sen theta)^2 d theta
  25. integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta
  26. integral x sen^3 x d x
  27. integral cotg^5 theta sen^4 theta d theta
  28. integral cos ^2 x sen 2 x d x
  29. integral tg^2 theta sec ^4 theta d theta
  30. integral(tg^2 x+tg^4 x) d x
  31. integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta
  32. integral tg^5 x sec ^3 x d x
  33. integral0^pi / 2 tg^4 t d t
  34. integral tg^2 x sec x d x
  35. integral sen phicos ^3 phi d phi
  36. integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x d x
  37. integralpi / 4^pi / 2 cotg^5 phi cossec^3 phi d phi
  38. integral cossec^4 x cotg^6 x d x
  39. integral cossec x d x
  40. integralpi / 6^pi / 3 cossec^3 x d x
  41. integral sen 8 x cos 5 x d x
  42. integral cos pi x cos 4 pi x d x
  43. integral sen 5 theta sen theta d theta
  44. integral cos x+sen xsen 2 x d x
  45. integral0^pi / 6 raiz1+cos 2 x d x
  46. integral0^pi / 4 raiz1-cos 4 theta d theta
  47. integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x
  48. integral d xcos x-1
  49. integral x tg^2 x d x
  50. Se integral0^pi / 4 tg^6 x sec x d x=I, expresse o valor de integral0^pi / 4 tg^8 x sec x d x em termos de I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício número 49: . Neste exercício, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = x e dv = tan^2 x , dx e qual será du = dx . Geralmente, a gente escolhe v = integral tan^2 x , dx como a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:
v = integral (sec^2 x - 1) , dx = tan x - x + C
Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Sabemos que , então:
Como estamos trabalhando com a integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração por enquanto.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x tan^2 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (tan x - x) - integral (tan x - x) , dx
Vamos simplificar essa expressão:
= x tan x - x^2 - integral tan x , dx + integral x , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais que sobraram. Sabemos que:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C e integral x , dx = 12x^2 + C
Substituindo de volta:
= x tan x - x^2 - (-ln|cos x|) + 12x^2 + C
Simplificando:
= x tan x - x^2 + ln|cos x| + 12x^2 + C

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
- x^2 + 12x^2 = -12x^2
Então, a expressão fica:
= x tan x - 12x^2 + ln|cos x| + C

Resposta

Portanto, a integral x tan x - 12x^2 + ln|cos x| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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    (a) a substituição u=cos x,
    (b) a substituição u=sen x,
    © a identidade sen 2 x=2 sen x cos x
    (d) integração por partes
    Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))
Calcule a integral definida: integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no intervalo [a, b], então, dado a, teremos
dd t[integrala^t r(u) d u]=r(t)