Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício número 49: . Neste exercício, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = x e dv = tan^2 x , dx e qual será du = dx . Geralmente, a gente escolhe v = integral tan^2 x , dx como a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:
v = integral (sec^2 x - 1) , dx = tan x - x + C
Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Sabemos que , então:
Como estamos trabalhando com a integral indefinida, podemos ignorar a constante de integração por enquanto.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x tan^2 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (tan x - x) - integral (tan x - x) , dx
Vamos simplificar essa expressão:
= x tan x - x^2 - integral tan x , dx + integral x , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais que sobraram. Sabemos que:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C e integral x , dx = 12x^2 + C
Substituindo de volta:
= x tan x - x^2 - (-ln|cos x|) + 12x^2 + C
Simplificando:
= x tan x - x^2 + ln|cos x| + 12x^2 + C

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
- x^2 + 12x^2 = -12x^2
Então, a expressão fica:
= x tan x - 12x^2 + ln|cos x| + C

Resposta

Portanto, a integral x tan x - 12x^2 + ln|cos x| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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