1. integral x sen^2(x^2) d x
  2. integral sen^5 x cos ^3 x d x
  3. integral sen 3 x sen 6 x d x
  4. integral sec ^4 x2 d x
  5. Encontre o valor médio da função f(x)=sen^2 x cos ^3 x no intervalo [-pi, pi].
  6. Calcule integral sen x cos x d x por quatro métodos:
    (a) a substituição u=cos x,
    (b) a substituição u=sen x,
    © a identidade sen 2 x=2 sen x cos x
    (d) integração por partes
    Explique os aspectos diferentes de suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando quatro métodos diferentes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar entender substituição, identidades trigonométricas e integração por partes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a substituição u = cos x . A ideia aqui é simplificar a integral substituindo partes dela por uma nova variável.
  1. Definir a substituição: du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx
  2. Calcular integral sen x cos x , dx = integral u cdot (-du) = -integral u , du : -integral u , du = -u^22 + C
  3. Substituir na integral: -cos^2 x2 + C
  4. Integrar:
  5. Substituir de volta:

Passo 3

Agora, vamos tentar a substituição u = sen x .
  1. Definir a substituição: du = cos x , dx
  2. Calcular integral sen x cos x , dx = integral u , du : integral u , du = u^22 + C
  3. Substituir na integral: sen^2 x2 + C
  4. Integrar:
  5. Substituir de volta:

Passo 4

Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral.
  1. Aplicar a identidade: sen 2x = 2 sen x cos x Rightarrow sen x cos x = 12 sen 2x
  2. Substituir na integral: integral sen x cos x , dx = 12 integral sen 2x , dx
  3. Integrar: 12 cdot ( -cos 2x2 ) + C = -cos 2x4 + C

Passo 5

Por fim, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
  1. Escolher integral sen x cos x , dx = sen x cdot sen x - integral sen x cos x , dx e integral sen x cos x , dx = sen^2 x - integral sen x cos x , dx :
    • 2 integral sen x cos x , dx = sen^2 x integral sen x cos x , dx = sen^2 x2 + C
  2. Aplicar a fórmula:
  3. Simplificar:
  4. Isolar a integral:

Resposta

Dependendo do método utilizado, a integral -cos^2 x2 + C pode ser expressa de diferentes formas:
  1. Substituição sen^2 x2 + C : -cos 2x4 + C
  2. Substituição sen^2 x2 + C :
  3. Identidade trigonométrica:
  4. Integração por partes:
Todas as respostas são equivalentes, apenas expressas de maneiras diferentes devido às técnicas utilizadas durante a integração.

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