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- Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
- Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição
,
(b) a substituição
,
© a identidade
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
(a) a substituição
(b) a substituição
© a identidade
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando quatro métodos diferentes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar entender substituição, identidades trigonométricas e integração por partes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a substituição
. A ideia aqui é simplificar a integral substituindo partes dela por uma nova variável.
- Definir a substituição:
- Calcular
: - Substituir na integral:
- Integrar:
- Substituir
de volta:
Passo 3
Agora, vamos tentar a substituição
.
- Definir a substituição:
- Calcular
: - Substituir na integral:
- Integrar:
- Substituir
de volta:
Passo 4
Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral.
- Aplicar a identidade:
- Substituir na integral:
- Integrar:
Passo 5
Por fim, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
- Escolher
e : -
- Aplicar a fórmula:
- Simplificar:
- Isolar a integral:
Resposta
Dependendo do método utilizado, a integral
pode ser expressa de diferentes formas:
- Substituição
: - Substituição
: - Identidade trigonométrica:
- Integração por partes:
Todas as respostas são equivalentes, apenas expressas de maneiras diferentes devido às técnicas utilizadas durante a integração.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine: (b)
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
e
demonstre as seguintes fórmulas:
1-49 Calcule a integral.
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- Se
, expresse o valor de em termos de .
Calcule a integral definida: