1. integral x sen^2(x^2) d x
  2. integral sen^5 x cos ^3 x d x
  3. integral sen 3 x sen 6 x d x
  4. integral sec ^4 x2 d x
  5. Encontre o valor médio da função f(x)=sen^2 x cos ^3 x no intervalo [-pi, pi].
  6. Calcule integral sen x cos x d x por quatro métodos:
    (a) a substituição u=cos x,
    (b) a substituição u=sen x,
    © a identidade sen 2 x=2 sen x cos x
    (d) integração por partes
    Explique os aspectos diferentes de suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando quatro métodos diferentes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar entender substituição, identidades trigonométricas e integração por partes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a substituição u = cos x . A ideia aqui é simplificar a integral substituindo partes dela por uma nova variável.
  1. Definir a substituição: du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx
  2. Calcular integral sen x cos x , dx = integral u cdot (-du) = -integral u , du : -integral u , du = -u^22 + C
  3. Substituir na integral: -cos^2 x2 + C
  4. Integrar:
  5. Substituir de volta:

Passo 3

Agora, vamos tentar a substituição u = sen x .
  1. Definir a substituição: du = cos x , dx
  2. Calcular integral sen x cos x , dx = integral u , du : integral u , du = u^22 + C
  3. Substituir na integral: sen^2 x2 + C
  4. Integrar:
  5. Substituir de volta:

Passo 4

Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral.
  1. Aplicar a identidade: sen 2x = 2 sen x cos x Rightarrow sen x cos x = 12 sen 2x
  2. Substituir na integral: integral sen x cos x , dx = 12 integral sen 2x , dx
  3. Integrar: 12 cdot ( -cos 2x2 ) + C = -cos 2x4 + C

Passo 5

Por fim, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
  1. Escolher integral sen x cos x , dx = sen x cdot sen x - integral sen x cos x , dx e integral sen x cos x , dx = sen^2 x - integral sen x cos x , dx :
    • 2 integral sen x cos x , dx = sen^2 x integral sen x cos x , dx = sen^2 x2 + C
  2. Aplicar a fórmula:
  3. Simplificar:
  4. Isolar a integral:

Resposta

Dependendo do método utilizado, a integral -cos^2 x2 + C pode ser expressa de diferentes formas:
  1. Substituição sen^2 x2 + C : -cos 2x4 + C
  2. Substituição sen^2 x2 + C :
  3. Identidade trigonométrica:
  4. Integração por partes:
Todas as respostas são equivalentes, apenas expressas de maneiras diferentes devido às técnicas utilizadas durante a integração.

Exercícios relacionados

Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
sen(theta1 pm theta2)=sen theta1 cos theta2 pm sen theta2 cos theta1
e
cos (theta1 pm theta2)=cos theta1 cos theta2 mp sen theta1 sen theta2
demonstre as seguintes fórmulas:
sen theta1 cos theta2 & =12[sen(theta1+theta2)+sen(theta1-theta2)] cos theta1 cos theta2 & =12[cos (theta1+theta2)+cos (theta1-theta2)] sen theta1 sen theta2 & =12[cos (theta1-theta2)-cos (theta1+theta2)]

1-49 Calcule a integral.

  1. integral sen^3 x cos ^2 x d x
  2. integral0^pi / 2 sen^7 theta cos ^5 theta d theta
  3. integral sen^2(pi x) cos ^5(pi x) d x
  4. integral0^pi / 2 cos ^2 theta d theta
  5. integral0^pi cos ^4(2 t) d t
  6. integral0^pi / 2 sen^2 x cos ^2 x d x
  7. integral t sen^2 t d t
  8. integral cos ^5 alpharaizsen alpha d alpha
  9. integral cos ^2 x tg^3 x d x
  10. integral cos x+sen 2 xsen x d x
  11. integral tg x sec ^3 x d x
  12. integral tg^2 x d x
  13. integral tg^4 x sec ^6 x d x
  14. integral0^pi / 3 tg^5 x sec ^4 x d x
  15. integral tg^3 x sec x d x
  16. integral tg^5 x d x
  17. integral x sec x tg x d x
  18. integralpi / 6^pi / 2 cotg^2 x d x
  19. integral sen^6 x cos ^3 x d x
  20. integral0^pi / 2 cos ^5 x d x
  21. integral sen^3(raizx)raizx d x
  22. integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta
  23. integral0^pi sen^2 t cos ^4 t d t
  24. integral0^pi / 2(2-sen theta)^2 d theta
  25. integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta
  26. integral x sen^3 x d x
  27. integral cotg^5 theta sen^4 theta d theta
  28. integral cos ^2 x sen 2 x d x
  29. integral tg^2 theta sec ^4 theta d theta
  30. integral(tg^2 x+tg^4 x) d x
  31. integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta
  32. integral tg^5 x sec ^3 x d x
  33. integral0^pi / 2 tg^4 t d t
  34. integral tg^2 x sec x d x
  35. integral sen phicos ^3 phi d phi
  36. integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x d x
  37. integralpi / 4^pi / 2 cotg^5 phi cossec^3 phi d phi
  38. integral cossec^4 x cotg^6 x d x
  39. integral cossec x d x
  40. integralpi / 6^pi / 3 cossec^3 x d x
  41. integral sen 8 x cos 5 x d x
  42. integral cos pi x cos 4 pi x d x
  43. integral sen 5 theta sen theta d theta
  44. integral cos x+sen xsen 2 x d x
  45. integral0^pi / 6 raiz1+cos 2 x d x
  46. integral0^pi / 4 raiz1-cos 4 theta d theta
  47. integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x
  48. integral d xcos x-1
  49. integral x tg^2 x d x
  50. Se integral0^pi / 4 tg^6 x sec x d x=I, expresse o valor de integral0^pi / 4 tg^8 x sec x d x em termos de I.
Calcule a integral definida: integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t