Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então, dado
, teremos
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se
for uma função vetorial contínua no intervalo
, então para qualquer
entre
e
, a derivada em relação a
da integral de
de
até
é igual a
. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral e Diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma integral que depende de um limite variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1), que para funções escalares diz que:
Esse teorema nos diz que a derivada da integral de uma função contínua
de
até
é simplesmente a função avaliada em
.
Passo 3
Agora, aplicando isso para funções vetoriais, consideramos que
pode ser representada como um vetor cujas componentes são funções escalares contínuas. Ou seja:
A integral de
de
até
será:
Passo 4
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada componente dessa integral em relação a
será a respectiva função avaliada em
. Assim:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
for uma função vetorial contínua no intervalo
, então para qualquer
, temos: