Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então, dado
, teremos
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se
for uma função vetorial contínua no intervalo
, então para qualquer
entre
e
, a derivada em relação a
da integral de
de
até
é igual a
. O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral e Diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma integral que depende de um limite variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1), que para funções escalares diz que:
Esse teorema nos diz que a derivada da integral de uma função contínua
de
até
é simplesmente a função avaliada em
.
Passo 3
Agora, aplicando isso para funções vetoriais, consideramos que
pode ser representada como um vetor cujas componentes são funções escalares contínuas. Ou seja:
A integral de
de
até
será:
Passo 4
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada componente dessa integral em relação a
será a respectiva função avaliada em
. Assim:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
for uma função vetorial contínua no intervalo
, então para qualquer
, temos:
Exercícios relacionados
Calcule a integral definida:
1-49 Calcule a integral.
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- Se
, expresse o valor de em termos de .
Verifique se a função a seguir é solução da equação de onda.
Na física, essa bela simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional.
em que
é a altura da onda,
é a distância,
é o tempo e
é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo.
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo.
Calcule as derivadas parciais
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