Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta: 44. Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no intervalo [a, b], então, dado a, teremos
dd t[integrala^t r(u) d u]=r(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se r(t) for uma função vetorial contínua no intervalo [a, b], então para qualquer t entre a e b, a derivada em relação a t da integral de r(u) de a até t é igual a r(t). O conteúdo principal aqui é o Cálculo Integral e Diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma integral que depende de um limite variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1), que para funções escalares diz que:
ddt[integrala^t f(u) , du] = f(t)
Esse teorema nos diz que a derivada da integral de uma função contínua f(u) de a até t é simplesmente a função avaliada em t.

Passo 3

Agora, aplicando isso para funções vetoriais, consideramos que r(t) pode ser representada como um vetor cujas componentes são funções escalares contínuas. Ou seja:
r(t) = lang<= r1(t), r2(t), r3(t) rang<=
A integral de r(u) de a até t será:
integrala^t r(u) , du = lang<= integrala^t r1(u) , du, integrala^t r2(u) , du, integrala^t r3(u) , du rang<=

Passo 4

De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada componente dessa integral em relação a t será a respectiva função avaliada em t. Assim:
ddt[integrala^t r(u) , du] = ddtlang<= integrala^t r1(u) , du, integrala^t r2(u) , du, integrala^t r3(u) , du rang<=
= lang<= ddtintegrala^t r1(u) , du, ddtintegrala^t r2(u) , du, ddtintegrala^t r3(u) , du rang<=
= lang<= r1(t), r2(t), r3(t) rang<= = r(t)

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se r(t) for uma função vetorial contínua no intervalo [a, b], então para qualquer a < t < b, temos:
ddt[integrala^t r(u) , du] = r(t)

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