Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um vetor r(t) = cos t i + sen t j + k. A tarefa é encontrar o limite quando t se aproxima de 0 do produto vetorial entre r(t) e sua derivada r^prime(t). Vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada do vetor r(t) em relação a t, ou seja, r^prime(t). A derivada de um vetor é obtida derivando cada componente do vetor separadamente.
r(t) = cos t i + sen t j + k
Derivando cada componente:
r^prime(t) = ddt(cos t) i + ddt(sen t) j + ddt(1) k
r^prime(t) = -sen t i + cos t j + 0 k
Então,
r^prime(t) = -sen t i + cos t j

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre r(t) e r^prime(t). O produto vetorial de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado por:
a times b = (a2 b3 - a3 b2)i - (a1 b3 - a3 b1)j + (a1 b2 - a2 b1)k
Aplicando isso aos nossos vetores:
r(t) = cos t i + sen t j + k
r^prime(t) = -sen t i + cos t j + 0 k
Calculando cada componente:
  • Componente i:
(sen t)(0) - (1)(cos t) = -cos t
  • Componente j:
(cos t)(0) - (1)(-sen t) = sen t
  • Componente k:
(cos t)(cos t) - (sen t)(-sen t) = cos^2 t + sen^2 t
Então,
r(t) times r^prime(t) = -cos t i + sen t j + (cos^2 t + sen^2 t) k

Passo 4

Sabemos que cos^2 t + sen^2 t = 1 por identidade trigonométrica. Então, simplificando:
r(t) times r^prime(t) = -cos t i + sen t j + k

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando t se aproxima de 0:
lim t 0 r(t) times r^prime(t) = lim t 0 (-cos t i + sen t j + k)
Substituindo t = 0:
  • cos 0 = 1
  • sen 0 = 0
Então,
-1 i + 0 j + k = -i + k

Resposta

lim t 0(r(t) times r^prime(t)) = -i + k

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