Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um vetor r(t) = cos t i + sen t j + k. A tarefa é encontrar o limite quando t se aproxima de 0 do produto vetorial entre r(t) e sua derivada r^prime(t). Vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada do vetor r(t) em relação a t, ou seja, r^prime(t). A derivada de um vetor é obtida derivando cada componente do vetor separadamente.
r(t) = cos t i + sen t j + k
Derivando cada componente:
r^prime(t) = ddt(cos t) i + ddt(sen t) j + ddt(1) k
r^prime(t) = -sen t i + cos t j + 0 k
Então,
r^prime(t) = -sen t i + cos t j

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre r(t) e r^prime(t). O produto vetorial de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado por:
a times b = (a2 b3 - a3 b2)i - (a1 b3 - a3 b1)j + (a1 b2 - a2 b1)k
Aplicando isso aos nossos vetores:
r(t) = cos t i + sen t j + k
r^prime(t) = -sen t i + cos t j + 0 k
Calculando cada componente:
  • Componente i:
(sen t)(0) - (1)(cos t) = -cos t
  • Componente j:
(cos t)(0) - (1)(-sen t) = sen t
  • Componente k:
(cos t)(cos t) - (sen t)(-sen t) = cos^2 t + sen^2 t
Então,
r(t) times r^prime(t) = -cos t i + sen t j + (cos^2 t + sen^2 t) k

Passo 4

Sabemos que cos^2 t + sen^2 t = 1 por identidade trigonométrica. Então, simplificando:
r(t) times r^prime(t) = -cos t i + sen t j + k

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando t se aproxima de 0:
lim t 0 r(t) times r^prime(t) = lim t 0 (-cos t i + sen t j + k)
Substituindo t = 0:
  • cos 0 = 1
  • sen 0 = 0
Então,
-1 i + 0 j + k = -i + k

Resposta

lim t 0(r(t) times r^prime(t)) = -i + k

Exercícios relacionados

Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
sen(theta1 pm theta2)=sen theta1 cos theta2 pm sen theta2 cos theta1
e
cos (theta1 pm theta2)=cos theta1 cos theta2 mp sen theta1 sen theta2
demonstre as seguintes fórmulas:
sen theta1 cos theta2 & =12[sen(theta1+theta2)+sen(theta1-theta2)] cos theta1 cos theta2 & =12[cos (theta1+theta2)+cos (theta1-theta2)] sen theta1 sen theta2 & =12[cos (theta1-theta2)-cos (theta1+theta2)]
Calcule as integrais indefinidas: integral e^sen x sen 2 x d x
  1. integral x sen^2(x^2) d x
  2. integral sen^5 x cos ^3 x d x
  3. integral sen 3 x sen 6 x d x
  4. integral sec ^4 x2 d x
  5. Encontre o valor médio da função f(x)=sen^2 x cos ^3 x no intervalo [-pi, pi].
  6. Calcule integral sen x cos x d x por quatro métodos:
    (a) a substituição u=cos x,
    (b) a substituição u=sen x,
    © a identidade sen 2 x=2 sen x cos x
    (d) integração por partes
    Explique os aspectos diferentes de suas respostas.

1-49 Calcule a integral.

  1. integral sen^3 x cos ^2 x d x
  2. integral0^pi / 2 sen^7 theta cos ^5 theta d theta
  3. integral sen^2(pi x) cos ^5(pi x) d x
  4. integral0^pi / 2 cos ^2 theta d theta
  5. integral0^pi cos ^4(2 t) d t
  6. integral0^pi / 2 sen^2 x cos ^2 x d x
  7. integral t sen^2 t d t
  8. integral cos ^5 alpharaizsen alpha d alpha
  9. integral cos ^2 x tg^3 x d x
  10. integral cos x+sen 2 xsen x d x
  11. integral tg x sec ^3 x d x
  12. integral tg^2 x d x
  13. integral tg^4 x sec ^6 x d x
  14. integral0^pi / 3 tg^5 x sec ^4 x d x
  15. integral tg^3 x sec x d x
  16. integral tg^5 x d x
  17. integral x sec x tg x d x
  18. integralpi / 6^pi / 2 cotg^2 x d x
  19. integral sen^6 x cos ^3 x d x
  20. integral0^pi / 2 cos ^5 x d x
  21. integral sen^3(raizx)raizx d x
  22. integral0^pi / 2 sen^2(13 theta) d theta
  23. integral0^pi sen^2 t cos ^4 t d t
  24. integral0^pi / 2(2-sen theta)^2 d theta
  25. integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta
  26. integral x sen^3 x d x
  27. integral cotg^5 theta sen^4 theta d theta
  28. integral cos ^2 x sen 2 x d x
  29. integral tg^2 theta sec ^4 theta d theta
  30. integral(tg^2 x+tg^4 x) d x
  31. integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta
  32. integral tg^5 x sec ^3 x d x
  33. integral0^pi / 2 tg^4 t d t
  34. integral tg^2 x sec x d x
  35. integral sen phicos ^3 phi d phi
  36. integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x d x
  37. integralpi / 4^pi / 2 cotg^5 phi cossec^3 phi d phi
  38. integral cossec^4 x cotg^6 x d x
  39. integral cossec x d x
  40. integralpi / 6^pi / 3 cossec^3 x d x
  41. integral sen 8 x cos 5 x d x
  42. integral cos pi x cos 4 pi x d x
  43. integral sen 5 theta sen theta d theta
  44. integral cos x+sen xsen 2 x d x
  45. integral0^pi / 6 raiz1+cos 2 x d x
  46. integral0^pi / 4 raiz1-cos 4 theta d theta
  47. integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x
  48. integral d xcos x-1
  49. integral x tg^2 x d x
  50. Se integral0^pi / 4 tg^6 x sec x d x=I, expresse o valor de integral0^pi / 4 tg^8 x sec x d x em termos de I.