Seja
. Determine: (b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um vetor
. A tarefa é encontrar o limite quando
se aproxima de 0 do produto vetorial entre
e sua derivada
. Vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada do vetor
em relação a
, ou seja,
. A derivada de um vetor é obtida derivando cada componente do vetor separadamente.
Derivando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre
e
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então,
Passo 4
Sabemos que
por identidade trigonométrica. Então, simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Substituindo
:
Então,
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
e
demonstre as seguintes fórmulas:
Calcule as integrais indefinidas:
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-
-
- Encontre o valor médio da função
no intervalo . - Calcule
por quatro métodos:
(a) a substituição,
(b) a substituição,
© a identidade
(d) integração por partes
Explique os aspectos diferentes de suas respostas.
1-49 Calcule a integral.
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- Se
, expresse o valor de em termos de .