Calcule a integral definida: integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de um vetor juntos! O enunciado pede para calcular . Isso envolve conceitos de cálculo integral aplicados a vetores. Vamos precisar saber como integrar funções escalares e depois juntar tudo para obter o vetor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de um vetor é feita componente por componente. Ou seja, vamos integrar cada parte do vetor separadamente. Nosso vetor é , então vamos integrar , e individualmente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada componente:
  1. Componente integral0^1 e^2t dt :
    integral e^2t dt = 12 e^2t
    A integral de integral0^1 e^-t dt em relação a integral e^-t dt = -e^-t é integral0^1 t dt . Então:
    integral t dt = 12 t^2
  2. Componente :
    Similarmente, a integral de é . Aqui, :
  3. Componente :
    A integral de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores das integrais entre 0 e 1:
  1. Componente 12 e^2t |0^1 = 12 e^2(1) - 12 e^2(0) = 12 e^2 - 12 :
    -e^-t |0^1 = -e^-1 - (-e^0) = -1e + 1
  2. Componente 12 t^2 |0^1 = 12 (1)^2 - 12 (0)^2 = 12 :
  3. Componente :

Resposta

Juntando todas as componentes integradas, a integral definida é:
( 12 e^2 - 12 ) i + (1 - 1e) j + 12 k

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