1. (a) Determine os pontos nos quais a curva
r = t i + t^2 j - 3 t k
intersecta o plano 2 x - y + z = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a curva dada pela equação vetorial corta o plano definido pela equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente o posicionamento de curvas no espaço e a interseção delas com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que temos. A equação vetorial nos dá as coordenadas paramétricas da curva:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas coordenadas na equação do plano para encontrar os valores de nos quais a curva está no plano. A equação do plano é:
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para resolver para :
Reorganizando os termos:
Multiplicando todos os termos por para facilitar:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação , as soluções são:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Agora, as soluções são:
Isso nos dá dois valores de :

Passo 6

Com os valores de encontrados, vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção substituindo de volta nas equações paramétricas da curva.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos de interseção são e .

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