Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:

Com as condições iniciais:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares homogêneas e aplicar métodos para encontrar a solução que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial:

Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada:

A equação característica nos ajuda a determinar a forma geral da solução.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicamos a primeira condição inicial :

Então, temos:
çã

Passo 7

Agora, calculamos a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição :

Aplicando :
çã

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações formado:
Somando as duas equações:

Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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