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Verifique que
é autovalor e
seu autovetor associado do operador
se
.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que
é um autovalor e que
é o autovetor associado desse operador
. A matéria aqui é sobre autovalores e autovetores de operadores lineares, especificamente do operador de derivação
no espaço das funções contínuas
. Para resolver isso, vamos usar a definição de autovalor e autovetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um autovalor e um autovetor. Um escalar
é um autovalor do operador
se existir uma função não nula
tal que
. Aqui,
é chamado de autovetor correspondente a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação
. Sabemos que
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
:
Vemos que
, o que confirma que
é um autovalor e
é o autovetor correspondente.
Resposta
Assim, verificamos que
é um autovalor do operador
e que
é o autovetor associado a ele.