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Verifique que lambda é autovalor e v=e^lambda t seu autovetor associado do operador T: C(R) C(R) se T(f(x))=f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que é um autovalor e que é o autovetor associado desse operador . A matéria aqui é sobre autovalores e autovetores de operadores lineares, especificamente do operador de derivação no espaço das funções contínuas . Para resolver isso, vamos usar a definição de autovalor e autovetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um autovalor e um autovetor. Um escalar é um autovalor do operador se existir uma função não nula tal que . Aqui, é chamado de autovetor correspondente a .

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação . Sabemos que , ou seja, a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de v = e^lambda t v' = ddt e^lambda t = lambda e^lambda t :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos verificar se T(v) = lambda e^lambda t lambda v = lambda e^lambda t :
Vemos que , o que confirma que é um autovalor e é o autovetor correspondente.

Resposta

Assim, verificamos que é um autovalor do operador e que é o autovetor associado a ele.

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