Considere o espaço
de todos os polinômios de grau menor ou igual à 2 com coeficientes reais. Mostre que a função
define um produto interno em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa função definida como a integral do produto de dois polinômios de grau até 2, no intervalo de 0 a 1, é um produto interno no espaço
. Ou seja, queremos verificar se essa função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada um produto interno. Vamos precisar conhecer essas propriedades básicas de um produto interno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembro que para uma função ser um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades principais:
- Linearidade no primeiro argumento: Ou seja,
para quaisquer polinômios e escalares . - Simetria:
. - Positividade:
e se e somente se é o polinômio zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
1. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos pegar dois polinômios
e
em
, e escalares
e
. Precisamos mostrar que:
Usando a definição da função:
Pela propriedade distributiva da integral:
Então, a função é linear no primeiro argumento.
Passo 4
2. Simetria:
Precisamos mostrar que:
Usando a definição:
Como a multiplicação é comutativa (
):
Portanto,
, confirmando a simetria.
Passo 5
3. Positividade:
Precisamos verificar que:
E que
se e somente se
é o polinômio zero.
Calculando:
Como
é sempre não negativo para qualquer
, a integral será sempre maior ou igual a zero:
Agora, se
, então:
Isso só é possível se
para todo
no intervalo [0, 1], ou seja,
para todo
. Portanto,
deve ser o polinômio zero.
Resposta
Assim, verificamos que a função definida por
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
. Portanto, ela define um produto interno nesse espaço.