Considere o espaço P2(R) de todos os polinômios de grau menor ou igual à 2 com coeficientes reais. Mostre que a função
lang<= p(x), q(x)rang<==integral0^1 p(t) q(t) d t
define um produto interno em P2(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa função definida como a integral do produto de dois polinômios de grau até 2, no intervalo de 0 a 1, é um produto interno no espaço . Ou seja, queremos verificar se essa função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada um produto interno. Vamos precisar conhecer essas propriedades básicas de um produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembro que para uma função ser um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Linearidade no primeiro argumento: Ou seja, para quaisquer polinômios e escalares .
  2. Simetria: .
  3. Positividade: e se e somente se é o polinômio zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos pegar dois polinômios lang<= a p + b q, r rang<= = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<= e lang<= a p + b q, r rang<= = integral0^1 (a p(t) + b q(t)) r(t) dt em = a integral0^1 p(t) r(t) dt + b integral0^1 q(t) r(t) dt , e escalares = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<= e . Precisamos mostrar que:
Usando a definição da função:
Pela propriedade distributiva da integral:
Então, a função é linear no primeiro argumento.

Passo 4

2. Simetria:
Precisamos mostrar que:
lang<= p, q rang<= = lang<= q, p rang<=
Usando a definição:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(t) q(t) dt
lang<= q, p rang<= = integral0^1 q(t) p(t) dt
Como a multiplicação é comutativa ( integral0^1 p(t) q(t) dt = integral0^1 q(t) p(t) dt ):
Portanto, , confirmando a simetria.

Passo 5

3. Positividade:
Precisamos verificar que:
lang<= p, p rang<= >= 0
E que lang<= p, p rang<= = integral0^1 p(t)^2 dt se e somente se integral0^1 p(t)^2 dt >= 0 é o polinômio zero.
Calculando:
integral0^1 p(t)^2 dt = 0
Como é sempre não negativo para qualquer , a integral será sempre maior ou igual a zero:
Agora, se , então:
Isso só é possível se para todo no intervalo [0, 1], ou seja, para todo . Portanto, deve ser o polinômio zero.

Resposta

Assim, verificamos que a função definida por satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, ela define um produto interno nesse espaço.

Exercícios relacionados