Use a regra de Cramer para resolver cada um dos seguintes sistemas:
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que você precisa fazer. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos usar a Regra de Cramer para resolver esse sistema. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para encontrar as soluções das incógnitas. Para aplicá-la, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes
A = 2 & 1 & -3 4 & 5 & 1 -2 & -1 & 4 do sistema:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de
det(A) = 2(5 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - 1(4 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + (-3)(4 cdot (-1) - 5 cdot (-2)) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando os valores da matriz
:
Calculando cada parte:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
A1 = 0 & 1 & -3 8 & 5 & 1 2 & -1 & 4 usando a Regra de Cramer. Para isso, substituímos a primeira coluna da matriz
det(A1) = 0(5 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - 1(8 cdot 4 - 1 cdot 2) + (-3)(8 cdot (-1) - 5 cdot 2) pelos termos constantes do sistema (lado direito das equações), formando a matriz
det(A1) = 0(20 + 1) - 1(32 - 2) + (-3)(-8 - 10) det(A1) = 0 - 30 + (-3)(-18) det(A1) = -30 + 54 det(A1) = 24 :
Calculamos o determinante dessa nova matriz
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Vamos agora encontrar
A2 = 2 & 0 & -3 4 & 8 & 1 -2 & 2 & 4 . Substituímos a segunda coluna da matriz
det(A2) = 2(8 cdot 4 - 1 cdot 2) - 0(4 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + (-3)(4 cdot 2 - 8 cdot (-2)) pelos termos constantes, formando a matriz
det(A2) = 2(32 - 2) - 0(16 + 2) + (-3)(8 + 16) det(A2) = 2(30) - 0 + (-3)(24) det(A2) = 60 - 72 det(A2) = -12 :
Calculamos o determinante
:
Calculamos
:
Passo 5
Por último, vamos encontrar
A3 = 2 & 1 & 0 4 & 5 & 8 -2 & -1 & 2 . Substituímos a terceira coluna da matriz
det(A3) = 2(5 cdot 2 - 8 cdot (-1)) - 1(4 cdot 2 - 8 cdot (-2)) + 0(4 cdot (-1) - 5 cdot (-2)) pelos termos constantes, formando a matriz
det(A3) = 2(10 + 8) - 1(8 + 16) + 0 det(A3) = 2(18) - 24 + 0 det(A3) = 36 - 24 det(A3) = 12 :
Calculamos o determinante
:
Calculamos
:
Resposta
A solução do sistema é: