Use a regra de Cramer para resolver cada um dos seguintes sistemas:
© 2 x1+x2-3 x3=0
4 x1+5 x2+x3=8
-2 x1-x2+4 x3=2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que você precisa fazer. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
2x1 + x2 - 3x3 = 0 4x1 + 5x2 + x3 = 8 -2x1 - x2 + 4x3 = 2
Vamos usar a Regra de Cramer para resolver esse sistema. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para encontrar as soluções das incógnitas. Para aplicá-la, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 2 & 1 & -3 4 & 5 & 1 -2 & -1 & 4 do sistema:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de det(A) = 2(5 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - 1(4 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + (-3)(4 cdot (-1) - 5 cdot (-2)) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = 2(20 + 1) - 1(16 + 2) + (-3)(-4 + 10) det(A) = 2(21) - 1(18) + (-3)(6) det(A) = 42 - 18 - 18 det(A) = 6
Aplicando os valores da matriz :
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos encontrar A1 = 0 & 1 & -3 8 & 5 & 1 2 & -1 & 4 usando a Regra de Cramer. Para isso, substituímos a primeira coluna da matriz det(A1) = 0(5 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - 1(8 cdot 4 - 1 cdot 2) + (-3)(8 cdot (-1) - 5 cdot 2) pelos termos constantes do sistema (lado direito das equações), formando a matriz det(A1) = 0(20 + 1) - 1(32 - 2) + (-3)(-8 - 10) det(A1) = 0 - 30 + (-3)(-18) det(A1) = -30 + 54 det(A1) = 24 :
x1 = det(A1)det(A) = 246 = 4
Calculamos o determinante dessa nova matriz :
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos agora encontrar A2 = 2 & 0 & -3 4 & 8 & 1 -2 & 2 & 4 . Substituímos a segunda coluna da matriz det(A2) = 2(8 cdot 4 - 1 cdot 2) - 0(4 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + (-3)(4 cdot 2 - 8 cdot (-2)) pelos termos constantes, formando a matriz det(A2) = 2(32 - 2) - 0(16 + 2) + (-3)(8 + 16) det(A2) = 2(30) - 0 + (-3)(24) det(A2) = 60 - 72 det(A2) = -12 :
x2 = det(A2)det(A) = -126 = -2
Calculamos o determinante :
Calculamos :

Passo 5

Por último, vamos encontrar A3 = 2 & 1 & 0 4 & 5 & 8 -2 & -1 & 2 . Substituímos a terceira coluna da matriz det(A3) = 2(5 cdot 2 - 8 cdot (-1)) - 1(4 cdot 2 - 8 cdot (-2)) + 0(4 cdot (-1) - 5 cdot (-2)) pelos termos constantes, formando a matriz det(A3) = 2(10 + 8) - 1(8 + 16) + 0 det(A3) = 2(18) - 24 + 0 det(A3) = 36 - 24 det(A3) = 12 :
x3 = det(A3)det(A) = 126 = 2
Calculamos o determinante :
Calculamos :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 4, x2 = -2, x3 = 2

Exercícios relacionados