Onde:
raio hidráulico do canal;
declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal);
fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com
considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.
Resposta:
(a)A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação
(b) No sistema S.I.:
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com
(b) No sistema S.I.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a fórmula de Manning! A gente tem a seguinte equação:
Onde:
-
é a velocidade do fluxo, -
é o raio hidráulico do canal, -
é a declividade do canal, -
é o fator de rugosidade de Manning.
Precisamos verificar dois pontos:
(a) Se essa fórmula é dimensionalmente consistente,
(b) Como reescrever essa equação no Sistema Internacional (SI) considerando que é adimensional.
(a) Se essa fórmula é dimensionalmente consistente,
(b) Como reescrever essa equação no Sistema Internacional (SI) considerando que
Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Verificar a consistência dimensional da fórmula de Manning
Para ver se a fórmula é dimensionalmente consistente, a gente precisa analisar as dimensões de cada lado da equação.
-
Lado esquerdo (LHS):
representa a velocidade, então tem dimensão de [comprimento]/[tempo], ou seja, . -
Lado direito (RHS):
-
: Como é adimensional, essa parte também é adimensional. -
: é um comprimento, então tem dimensão . -
: é a declividade, que é a tangente de um ângulo e, portanto, adimensional. Assim, também é adimensional.
-
Multiplicando tudo no lado direito, temos
(adimensional) =
.
Comparando os dois lados:
- LHS:
- RHS:
As dimensões não estão iguais! Isso quer dizer que a fórmula não é dimensionalmente consistente.
Passo 3
Parte (b): Reescrever a equação no Sistema Internacional (SI)
No Sistema Internacional, a gente quer que a equação seja dimensionalmente consistente, ou seja, que ambos os lados tenham as mesmas dimensões.
A fórmula original estava em unidades BG (British Gravitational), e para convertê-la para o SI, ajustamos o coeficiente para garantir a consistência dimensional. A versão no SI fica assim:
Aqui, ajustamos o número para 1,0 para que as dimensões de ambos os lados da equação sejam iguais, mantendo
como adimensional.
Resposta
(a) A fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente, pois as dimensões do lado esquerdo (
) são diferentes das do lado direito (
).
(b) No Sistema Internacional (SI), a equação de Manning é reescrita como: