V=1,49n cdot R^2 / 3 cdot S^1 / 2
Onde: R= raio hidráulico do canal; S= declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); n= fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com n considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.

Resposta:

(a)A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação
(b) No sistema S.I.: V=1,0n cdot R^2 / 3 cdot S^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a fórmula de Manning! A gente tem a seguinte equação:
V = 1,49n cdot R^2/3 cdot S^1/2
Onde:
  • é a velocidade do fluxo,
  • é o raio hidráulico do canal,
  • é a declividade do canal,
  • é o fator de rugosidade de Manning.
Precisamos verificar dois pontos:
(a) Se essa fórmula é dimensionalmente consistente,
(b) Como reescrever essa equação no Sistema Internacional (SI) considerando que é adimensional.
Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar a consistência dimensional da fórmula de Manning
Para ver se a fórmula é dimensionalmente consistente, a gente precisa analisar as dimensões de cada lado da equação.
  • Lado esquerdo (LHS): representa a velocidade, então tem dimensão de [comprimento]/[tempo], ou seja, .
  • Lado direito (RHS):
    • : Como é adimensional, essa parte também é adimensional.
    • : é um comprimento, então tem dimensão .
    • : é a declividade, que é a tangente de um ângulo e, portanto, adimensional. Assim, também é adimensional.
Multiplicando tudo no lado direito, temos (adimensional) = .
Comparando os dois lados:
  • LHS:
  • RHS:
As dimensões não estão iguais! Isso quer dizer que a fórmula não é dimensionalmente consistente.

Passo 3

Parte (b): Reescrever a equação no Sistema Internacional (SI)
No Sistema Internacional, a gente quer que a equação seja dimensionalmente consistente, ou seja, que ambos os lados tenham as mesmas dimensões.
A fórmula original estava em unidades BG (British Gravitational), e para convertê-la para o SI, ajustamos o coeficiente para garantir a consistência dimensional. A versão no SI fica assim:
V = 1,0n cdot R^2/3 cdot S^1/2
Aqui, ajustamos o número para 1,0 para que as dimensões de ambos os lados da equação sejam iguais, mantendo como adimensional.

Resposta

(a) A fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente, pois as dimensões do lado esquerdo ( V = 1,0n cdot R^2/3 cdot S^1/2 ) são diferentes das do lado direito ( ).
(b) No Sistema Internacional (SI), a equação de Manning é reescrita como:

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