Onde: raio hidráulico do canal; declividade do canal (tangente do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal); fator de rugosidade de Manning (é uma constante para uma dada condição da superfície das paredes e do fundo do canal).
Verificar:
(a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente?
(b) A Equação comumente é considerada válida em unidades BG com considerado como adimensional. Reescreva a equação na forma do SI.

Resposta:

(a)A fórmula é incompatível, o lado esquerdo é diferente do lado direito da equação
(b) No sistema S.I.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a fórmula de Manning! A gente tem a seguinte equação:
Onde:
  • é a velocidade do fluxo,
  • é o raio hidráulico do canal,
  • é a declividade do canal,
  • é o fator de rugosidade de Manning.
Precisamos verificar dois pontos:
(a) Se essa fórmula é dimensionalmente consistente,
(b) Como reescrever essa equação no Sistema Internacional (SI) considerando que é adimensional.
Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar a consistência dimensional da fórmula de Manning
Para ver se a fórmula é dimensionalmente consistente, a gente precisa analisar as dimensões de cada lado da equação.
  • Lado esquerdo (LHS): representa a velocidade, então tem dimensão de [comprimento]/[tempo], ou seja, .
  • Lado direito (RHS):
    • : Como é adimensional, essa parte também é adimensional.
    • : é um comprimento, então tem dimensão .
    • : é a declividade, que é a tangente de um ângulo e, portanto, adimensional. Assim, também é adimensional.
Multiplicando tudo no lado direito, temos (adimensional) = .
Comparando os dois lados:
  • LHS:
  • RHS:
As dimensões não estão iguais! Isso quer dizer que a fórmula não é dimensionalmente consistente.

Passo 3

Parte (b): Reescrever a equação no Sistema Internacional (SI)
No Sistema Internacional, a gente quer que a equação seja dimensionalmente consistente, ou seja, que ambos os lados tenham as mesmas dimensões.
A fórmula original estava em unidades BG (British Gravitational), e para convertê-la para o SI, ajustamos o coeficiente para garantir a consistência dimensional. A versão no SI fica assim:
Aqui, ajustamos o número para 1,0 para que as dimensões de ambos os lados da equação sejam iguais, mantendo como adimensional.

Resposta

(a) A fórmula de Manning não é dimensionalmente consistente, pois as dimensões do lado esquerdo ( ) são diferentes das do lado direito ( ).
(b) No Sistema Internacional (SI), a equação de Manning é reescrita como:

Exercícios relacionados

Um corpo pesa 1000 lbf quando submetido à gravidade da terra, cujo valor é .
a) Qual é sua massa em kg?
b) Qual será o peso deste corpo em N se ele estiver submetido à gravidade da Lua, em que glua
c) Com que rapidez o corpo irá acelerar se uma força de 400 lbf for aplicada nele na Lua ou na Terra?
Resposta:
a) 454 kg
b) 735 N
c)
Para a medição da viscosidade, muitas indústrias utilizam o sistema CGS de unidades. A unidade da viscosidade absoluta ( ) é o poise, que recebeu o nome em homenagem a J.L.M. Poiseuille, um médico francês que em 1840 realizou experimentos pioneiros com escoamento de água em tubos., sendo: 1 poise=1g/(cm.s).
A unidade da viscosidade cinemática ( ) é o stokes, que recebeu esse nome em homenagem a G.G. Stokes, um físico britânico que em 1845 ajudou a desenvolver as equações diferenciais parciais básicas da quantidade de movimento dos fluidos, sendo: 1 stokes .
A água a tem poise e stokes. Expresse esses resultados em (a) unidades do Sistema Internacional (S.I.) e (b) no sistema inglês (B.G.)

Dados:

Resposta: (a)
(b) slug/(ft.s)
Um campo de velocidade através de um tubo de Venturi tem a seguinte distribuição:
b) Encontre as expressões das componentes horizontal e vertical da aceleração. (1,0 ponto).