Dada a função com domínio no conjunto dos inteiros
qual a imagem de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por
com o domínio sendo todos os números inteiros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais são todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia pelos inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores que a variável
pode assumir. No nosso caso, o domínio são todos os números inteiros, que podem ser representados por
.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode resultar quando
percorre todo o domínio. Então, queremos encontrar todos os
possíveis quando
é qualquer inteiro.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns valores para entender melhor. Vamos substituir alguns inteiros em
:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então - Se
, então - Se
, então
Percebeu? Não importa se
é positivo ou negativo, porque o quadrado de qualquer número inteiro vai ser sempre um número não negativo.
Passo 4
Vamos pensar agora de forma mais geral. Para qualquer inteiro
, quando a gente calcula
, sempre vai obter um número inteiro que é zero ou positivo. Isso porque:
Então, a imagem da função
com domínio nos inteiros é o conjunto de todos os quadrados perfeitos não negativos.
Resposta
A imagem de
com domínio nos inteiros é o conjunto de todos os números inteiros não negativos que são quadrados perfeitos. Em termos matemáticos:
Exercícios relacionados
Encontre o domínio das funções a seguir:
4a
Encontre a série em cossenos mista de Fourier.
;
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Encontre a equação da reta que passa pelos pontos:
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