Dada a função com domínio no conjunto dos inteiros qual a imagem de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por com o domínio sendo todos os números inteiros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais são todos os possíveis valores que pode assumir quando varia pelos inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. No nosso caso, o domínio são todos os números inteiros, que podem ser representados por .
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode resultar quando percorre todo o domínio. Então, queremos encontrar todos os possíveis quando é qualquer inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns valores para entender melhor. Vamos substituir alguns inteiros em :
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
Percebeu? Não importa se é positivo ou negativo, porque o quadrado de qualquer número inteiro vai ser sempre um número não negativo.

Passo 4

Vamos pensar agora de forma mais geral. Para qualquer inteiro , quando a gente calcula , sempre vai obter um número inteiro que é zero ou positivo. Isso porque:
Então, a imagem da função com domínio nos inteiros é o conjunto de todos os quadrados perfeitos não negativos.

Resposta

A imagem de com domínio nos inteiros é o conjunto de todos os números inteiros não negativos que são quadrados perfeitos. Em termos matemáticos:

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