Se f(x) = 3*x^4 + x^3 - 2*x, calcule as derivadas f'(0), f''(0) e f^(20)(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão nos dá a função e pede para calcular as derivadas primeira, segunda e vigésima dessa função no ponto . Vamos usar conceitos de derivação para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Para encontrar a derivada , aplicamos as regras de derivação para cada termo da função.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada :
Aplicando a regra do poder, onde :

Passo 4

Agora, para encontrar , substituímos na expressão de :

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada . Derivamos novamente :

Passo 6

Para encontrar , substituímos na expressão de :

Passo 7

Agora, precisamos calcular a vigésima derivada . Observando a função original , percebemos que as derivadas de ordem superior a 4 serão zero, porque a derivada de tem grau e, após derivações, o termo desaparece.

Passo 8

Portanto, toda derivada de ordem 5 ou superior de será zero. Como 20 é maior que 4, temos:

Resposta

As derivadas no ponto são:

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