Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem

usando o método da variação das constantes arbitrárias. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações lineares, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois determinar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea. Podemos resolvê-la separando as variáveis.

Passo 3

Separando as variáveis:

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para :
Podemos renomear como uma nova constante :
Esta é a solução geral da equação homogênea.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação das constantes.
Assumimos que a constante na solução homogênea é, na verdade, uma função de : .
Então, a solução particular será:

Passo 7

Derivando em relação a :

Passo 8

Substituindo e na equação original:

Passo 9

Resolvendo para :
Integrando ambos os lados:
Como estamos buscando uma solução particular, consideramos :

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

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Se , calcule as derivadas e .
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

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