Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Passo 1
Resumo do problema: Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
usando o método da variação das constantes arbitrárias. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações lineares, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois determinar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea. Podemos resolvê-la separando as variáveis.
Passo 3
Separando as variáveis:
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Esta é a solução geral da equação homogênea.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação completa usando o método da variação das constantes.
Assumimos que a constante
na solução homogênea é, na verdade, uma função de
:
.
Então, a solução particular será:
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Substituindo
e
na equação original:
Passo 9
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados:
Como estamos buscando uma solução particular, consideramos
:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
, calcule as derivadas
e
.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
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