Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a parte homogênea da equação, que é:
Esta é a equação que resolveremos antes de aplicar o método da variação dos parâmetros.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução da equação homogênea. Para isso, usamos o fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Aqui,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. Suponhamos que a constante
seja na verdade uma função de
, ou seja,
. A solução particular será:
Derivando
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Integrando:
Onde
é outra constante de integração. Substituindo de volta na
:
Como
Resposta
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Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Res.:
Obs: Se
Consequentemente
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Se
, calcule as derivadas
e
.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.