Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
d y/d x + x y = x
Res.: y = 1 + C e^(-x^2 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear:

Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a parte homogênea da equação, que é:

Esta é a equação que resolveremos antes de aplicar o método da variação dos parâmetros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução da equação homogênea. Para isso, usamos o fator integrante. O fator integrante, , é dado por:

Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação homogênea pelo fator integrante:

Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:

Onde é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. Suponhamos que a constante seja na verdade uma função de , ou seja, . A solução particular será:

Derivando :
Substituindo na equação original:

Simplificando:
Então:

Integrando:
Onde é outra constante de integração. Substituindo de volta na :

Como é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para .

Resposta

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