Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte EDO linear:
Aqui, vamos usar o método da variação das constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros). Esse método nos ajuda a encontrar a solução geral da equação. Para isso, precisamos entender que a solução geral é composta pela solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, e sua solução geral pode ser encontrada usando um fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de crescimento exponencial.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea:
Rearranjando, temos:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Aqui, ainda representa uma constante arbitrária.

Passo 4

Agora que temos a solução da equação homogênea , vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, vamos assumir que a constante não é mais constante, mas sim uma função de . Ou seja, vamos escrever:
Onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituímos e na equação original:
Perceba que os termos com se cancelam:

Passo 6

Agora, temos uma equação mais simples para encontrar :
Vamos resolver para :
Para encontrar , integramos ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Calculando a segunda integral:
Então, a solução da integral fica:
Mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante nessa etapa.

Passo 8

Agora, retornamos à expressão para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Se , calcule as derivadas e .
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.