Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte EDO linear:
Aqui, vamos usar o método da variação das constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros). Esse método nos ajuda a encontrar a solução geral da equação. Para isso, precisamos entender que a solução geral é composta pela solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, e sua solução geral pode ser encontrada usando um fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de crescimento exponencial.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea:
Rearranjando, temos:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Aqui,
ainda representa uma constante arbitrária.
Passo 4
Agora que temos a solução da equação homogênea
, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, vamos assumir que a constante
não é mais constante, mas sim uma função de
. Ou seja, vamos escrever:
Onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Perceba que os termos com
se cancelam:
Passo 6
Agora, temos uma equação mais simples para encontrar
:
Vamos resolver para
:
Para encontrar
, integramos ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Calculando a segunda integral:
Então, a solução da integral fica:
Mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante
nessa etapa.
Passo 8
Agora, retornamos à expressão para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Se
, calcule as derivadas
e
.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.