Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Res.: , ou
.
Obs: Se , então ; logo,

Consequentemente

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar conceitos de substituição para equações homogêneas e integração. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observamos que a equação pode ser reorganizada para facilitar a identificação de uma substituição adequada. Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Percebemos que a equação possui termos que podem ser simplificados usando uma substituição homogênea. Vamos definir:
Isso implica que . Agora, vamos encontrar em termos de e .

Passo 4

Derivando em relação a :
Agora, substituímos na equação original:

Passo 5

Simplificando a equação substituída:
Calculando dentro da raiz:
Substituindo de volta:
Cancelando dos dois lados:

Passo 6

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em e a do lado direito resulta em , onde é a constante de integração.
Portanto:

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:
Podemos rearranjar a equação para a forma apresentada na resolução:

Resposta

A solução geral da EDO é:
ou, equivalientemente,
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Se , calcule as derivadas e .