Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Res.:
, ou
.
Obs: Se
, então
; logo,
Consequentemente
Res.:
Obs: Se
Consequentemente
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar conceitos de substituição para equações homogêneas e integração. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observamos que a equação pode ser reorganizada para facilitar a identificação de uma substituição adequada. Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Percebemos que a equação possui termos que podem ser simplificados usando uma substituição homogênea. Vamos definir:
Isso implica que
. Agora, vamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Agora, substituímos
na equação original:
Passo 5
Simplificando a equação substituída:
Calculando dentro da raiz:
Substituindo de volta:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em
e a do lado direito resulta em
, onde
é a constante de integração.
Portanto:
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos de volta:
Podemos rearranjar a equação para a forma apresentada na resolução:
Resposta
A solução geral da EDO é:
ou, equivalientemente,
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Se
, calcule as derivadas
e
.