Se
f(x, y)=cc (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2, & se (x, y) neq(1,0) 0, & se (x, y)=(1,0)
Calcule Du f(1,0) donde u=(1raiz2, 1raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma diferente quando não é e quando é exatamente . O que a gente precisa encontrar é a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de Du f(a, b) = limh to 0 f(a + h u1, b + h u2) - f(a, b)h no ponto na direção de um vetor é basicamente a taxa de variação de nesse ponto na direção de . Matematicamente, ela é dada por:
Então, vamos aplicar isso ao nosso caso, onde e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da derivada direcional:
Du f(1, 0) = limh to 0 f(1 + h cdot 1raiz2, 0 + h cdot 1raiz2) - f(1, 0)h
Como Du f(1, 0) = limh to 0 f(1 + hraiz2, hraiz2)h (pelo enunciado), a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir f(1 + hraiz2, hraiz2) = ((1 + hraiz2 - 1)^2 cdot hraiz2(1 + hraiz2 - 1)^4 + (hraiz2)^2 e f(1 + hraiz2, hraiz2) = (hraiz2)^2 cdot hraiz2(hraiz2)^4 + (hraiz2)^2 na expressão de :
Simplificando dentro das potências:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
No numerador:
(hraiz2)^2 cdot hraiz2 = h^22 cdot hraiz2 = h^32raiz2
No denominador:
(hraiz2)^4 + (hraiz2)^2 = h^44 + h^22
Então, temos:
f(1 + hraiz2, hraiz2) = h^32raiz2h^44 + h^22 = h^32raiz2 cdot 1h^44 + h^22

Passo 6

Podemos fatorar h^32raiz2 cdot 1h^2 (h^24 + 12) = h^32raiz2 cdot 1h^2 cdot 1h^24 + 12 = h2raiz2 cdot 1h^24 + 12 no denominador:

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta na expressão da derivada direcional:
Du f(1, 0) = limh to 0 f(1 + hraiz2, hraiz2)h = limh to 0 h2raiz2 cdot 1h^24 + 12h = limh to 0 12raiz2 cdot 1h^24 + 12

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando limh to 0 12raiz2 cdot 1h^24 + 12 = 12raiz2 cdot 10 + 12 = 12raiz2 cdot 2 = 1raiz2 tende a 0:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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