Se
Calcule donde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma diferente quando não é e quando é exatamente . O que a gente precisa encontrar é a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de no ponto na direção de um vetor é basicamente a taxa de variação de nesse ponto na direção de . Matematicamente, ela é dada por:
Então, vamos aplicar isso ao nosso caso, onde e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da derivada direcional:
Como (pelo enunciado), a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na expressão de :
Simplificando dentro das potências:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
No numerador:
No denominador:
Então, temos:

Passo 6

Podemos fatorar no denominador:

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta na expressão da derivada direcional:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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dd)
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