Se
Calcule
donde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de forma diferente quando
não é
e quando é exatamente
. O que a gente precisa encontrar é a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor
é basicamente a taxa de variação de
nesse ponto na direção de
. Matematicamente, ela é dada por:
Então, vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula da derivada direcional:
Como
(pelo enunciado), a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na expressão de
:
Simplificando dentro das potências:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
No numerador:
No denominador:
Então, temos:
Passo 6
Podemos fatorar
no denominador:
Passo 7
Agora, vamos substituir de volta na expressão da derivada direcional:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.
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usando a regra da cadeia, se:
dd)
dd)
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