Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente o Teste da Segunda Derivada. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, identificar os pontos críticos e então analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar as equações dividindo por 3:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de e .
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Fatorando:
Então, as soluções são:
Para :
Para :
Assim, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teste da Segunda Derivada para determinar a natureza desses pontos críticos.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Como e , o ponto �� um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Máximo local no ponto .
  • Ponto de sela no ponto .
  • Nenhum mínimo local.

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Se
Calcule donde
Determine as raízes das equações.
Determine as raízes das equações.
Determine usando a regra da cadeia, se:
ee)