Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente o Teste da Segunda Derivada. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, identificar os pontos críticos e então analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar as equações dividindo por 3:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Fatorando:
Então, as soluções são:
Para
:
Para
:
Assim, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teste da Segunda Derivada para determinar a natureza desses pontos críticos.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto
�� um máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Máximo local no ponto
. - Ponto de sela no ponto
. - Nenhum mínimo local.
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Se
Calcule
donde
Determine as raízes das equações.
Determine as raízes das equações.
Determine
usando a regra da cadeia, se:
ee)
ee)