[5] integral raizx^2-1x^4 d x
[7] integral0^a 1(a^2+x^2)^3 / 2 d x (a>0)
[10] integral0^2 / 3 raiz4-9 x^2 d x
[11] integral0^1 / 2 x raiz1-4 x^2 d x
[12] integral0^2 1raiz4+t^2 d t
[13] integral raizx^2-9x^3 d x
[14] integral0^1 1(x^2+1)^2 d x
[15] integral0^a x^2 raiza^2-x^2 d x
[16] integralraiz23^23 1x^5 raiz9 x^2-1 d x
[17] integral xraizx^2-7 d x
[19] integral raiz1+x^2x d x
[21] integral0^0,6 x^2raiz9-25 x^2 d x
[23] integral 1raizx^2+2 x+5 d x
[24] integral0^1 raizx-x^2 d x
[27] integral raiz5+4 x-x^2 d x
[28] integral x^2+1(x^2-2 x+2)^2 d x
[29] integral x raiz1-x^4 d x
[30] integral0^pi / 2 cos (t)raiz1+sen^2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais simples e então aplicar essas técnicas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral. Observe que temos uma raiz quadrada envolvendo e um denominador de . Isso sugere que uma substituição adequada pode facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos usar a substituição u = 1x^3 dudx = -3x^4 Rightarrow dx = -x^43 du . A ideia aqui é simplificar o denominador e lidar melhor com a raiz. Calculando a derivada de :

Passo 4

Substituímos integral raizx^2-1x^4 , dx = integral raizx^2 - 1 cdot u cdot (-x^43) du = -13 integral u raizx^2 - 1 cdot x^4 , du e na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar integração por partes. Escolhemos:
u = raizx^2 - 1 dv = 1x^4 dx
Então, calculamos du = xraizx^2 - 1 dx v = integral 1x^4 dx = -13x^3 e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes integral raizx^2-1x^4 dx = u cdot v - integral v , du = raizx^2 - 1 cdot (-13x^3) - integral (-13x^3) cdot xraizx^2 - 1 dx = -raizx^2 - 13x^3 + 13 integral 1x^2 raizx^2 - 1 dx :

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral restante t = raizx^2 - 1 t^2 = x^2 - 1 2t , dt = 2x , dx t , dt = x , dx . Vamos fazer uma nova substituição para simplificar:
dx = t , dtx
Resolvendo para integral 1x^2 cdot t cdot t , dtraizt^2 + 1 = integral 1(t^2 + 1) raizt^2 + 1 dt = integral 1(t^2 + 1)^3/2 dt :
Sabemos que , então . Substituindo na integral:

Passo 8

A integral t(t^2 + 1)raizt^2 + 1 + C é uma integral padrão que resulta em:
Mas para simplificar, sabemos que:

Passo 9

Substituindo raizx^2 - 1raiz(raizx^2 - 1)^2 + 1 + C = raizx^2 - 1x + C de volta:

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
-raizx^2 - 13x^3 + 13 ( raizx^2 - 1x ) + C = -raizx^2 - 13x^3 + raizx^2 - 13x + C
Podemos fatorar raizx^2 - 1 ( -13x^3 + 13x ) + C = raizx^2 - 1 cdot ( -1 + x^2 )3x^3 + C = (x^2 - 1)^3/23x^3 + C para simplificar:

Resposta

A integral integral raizx^2-1x^4 , dx = (x^2 - 1)^3/23x^3 + C é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados