Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais simples e então aplicar essas técnicas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral. Observe que temos uma raiz quadrada envolvendo e um denominador de . Isso sugere que uma substituição adequada pode facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos usar a substituição . A ideia aqui é simplificar o denominador e lidar melhor com a raiz. Calculando a derivada de :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar integração por partes. Escolhemos:
Então, calculamos e :
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral restante . Vamos fazer uma nova substituição para simplificar:
Resolvendo para :
Sabemos que , então . Substituindo na integral:
Passo 8
A integral é uma integral padrão que resulta em:
Mas para simplificar, sabemos que:
Passo 9
Substituindo de volta:
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Podemos fatorar para simplificar:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.