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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais simples e então aplicar essas técnicas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral. Observe que temos uma raiz quadrada envolvendo e um denominador de . Isso sugere que uma substituição adequada pode facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos usar a substituição . A ideia aqui é simplificar o denominador e lidar melhor com a raiz. Calculando a derivada de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar integração por partes. Escolhemos:
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral restante . Vamos fazer uma nova substituição para simplificar:
Resolvendo para :
Sabemos que , então . Substituindo na integral:

Passo 8

A integral é uma integral padrão que resulta em:
Mas para simplificar, sabemos que:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Voltando à expressão anterior:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Seja . Encontre os números críticos de .
Ache o gradiente da função dada.
a)