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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais simples e então aplicar essas técnicas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral. Observe que temos uma raiz quadrada envolvendo
e um denominador de
. Isso sugere que uma substituição adequada pode facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos usar a substituição
. A ideia aqui é simplificar o denominador e lidar melhor com a raiz. Calculando a derivada de
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então
. Isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar integração por partes. Escolhemos:
Então, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral restante
. Vamos fazer uma nova substituição para simplificar:
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então
. Substituindo na integral:
Passo 8
A integral
é uma integral padrão que resulta em:
Mas para simplificar, sabemos que:
Passo 9
Substituindo
de volta:
Passo 10
Voltando à expressão anterior:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.