Resolva os sistemas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Esse tipo de problema faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas de equações para encontrar os valores das variáveis envolvidas. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de , , e .

Passo 2

Vamos começar eliminando uma das variáveis para facilitar a resolução. Vamos tentar eliminar o . Para isso, subtrairemos a segunda equação da primeira.
Equação 1:
Equação 2:
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Simplificando:
Isso nos dá a relação:

Passo 3

Agora, vamos usar essa relação para eliminar o das outras equações. Vamos substituir na terceira e quarta equações.
Equação 3:
Substituindo :
Simplificando:
Equação 4:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora temos um sistema com três variáveis:
Vamos eliminar mais uma variável. Subtrairemos a segunda equação da terceira para eliminar o :
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos substituir na segunda equação do sistema atual:
Simplificando:

Passo 6

Temos agora:
Vamos resolver a equação para :

Passo 7

Agora que temos em termos de , podemos expressar e também em termos de :
Para encontrar o valor de , vamos substituir essas expressões na primeira equação original do sistema.

Passo 8

Substituindo na Equação 1:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:

Passo 9

Agora que encontramos , podemos encontrar as demais variáveis:

Resposta

A solução do sistema é:

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Resolva as equações diferenciais abaixo:
sendo um número inteiro fixado. Mostre que os -ésimos coeficientes de Fourier e são dados pelas fórmulas
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Seja . Encontre os números críticos de .