Ache o gradiente da função dada.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o gradiente da função dada, que é uma parte importante do cálculo vetorial. O gradiente nos mostra como a função muda em todas as direções no ponto considerado. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a e . Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é .
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a mesma regra do quociente:

Resposta

Então, o gradiente da função é dado por:

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Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
Avalie os seguintes integrais de linha. , onde , e onde é a curva parametrizada por ,