Ache o gradiente da função dada.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o gradiente da função dada, que é uma parte importante do cálculo vetorial. O gradiente nos mostra como a função muda em todas as direções no ponto considerado. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a
e
. Ou seja,
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, então a derivada é
.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a mesma regra do quociente:
Resposta
Então, o gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre os números críticos de
.
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Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,