Seja f(x) = 4 x^3 + 3 x^2 - 6 x + 1. Encontre os números críticos de f.

Passo 1

Estamos trabalhando com a função e queremos encontrar os números críticos dessa função. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas, já que os números críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números críticos. Eles são os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Como nossa função é um polinômio, que é diferenciável em todos os pontos, só precisamos encontrar onde .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Para cada termo, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante :

Passo 7

Como é positivo, temos duas soluções reais:
Então:

Resposta

Os números críticos de são e .

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