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Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria, pois o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções do tipo
e como lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a integração:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. A regra de integração para potências nos diz que:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração. Como é uma integral imprópria com o limite superior indo para o infinito, vamos reescrever a integral como:
Passo 5
Calculamos a antiderivada nos limites:
Simplificando:
Passo 6
Analisamos o limite:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
[a] Se
, para
, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
[b] Mostre que
[c] Mostre que
Calcule o comprimento da curva
Dizemos que uma função é harmônica se
. Mostre que a função
dada por
é harmônica.
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
j) ;
j)