Calcule o comprimento da curva
r = sen^3(theta / 3), 0 <= theta <= pi

Passo 1

Vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação polar no intervalo . Para isso, vamos usar a matéria de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. Precisaremos encontrar a derivada de em relação a e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Isso significa que precisamos calcular , elevar ao quadrado, somar com , tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso de até , que no nosso caso são 0 e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Usando a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 5

Portanto, a integral simplifica para:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 7

Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento da curva é .

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