Vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação polar no intervalo . Para isso, vamos usar a matéria de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. Precisaremos encontrar a derivada de em relação a e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Isso significa que precisamos calcular , elevar ao quadrado, somar com , tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso de até , que no nosso caso são 0 e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Usando a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 5
Portanto, a integral simplifica para:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica: