Calcule o comprimento da curva
r = sen^3(theta / 3), 0 <= theta <= pi

Passo 1

Vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação polar no intervalo . Para isso, vamos usar a matéria de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. Precisaremos encontrar a derivada de em relação a e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Isso significa que precisamos calcular , elevar ao quadrado, somar com , tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso de até , que no nosso caso são 0 e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Usando a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 5

Portanto, a integral simplifica para:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 7

Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Dada a curva parametrizada
&
x = t^2 + 4t, y = 2 - t, -4 <= t <= 1
b) Elimine o parâmetro para encontrar a equaçăo cartesiana.
Determine o valor da constante c e k de forma que a função dada f(x) = { kx - 1, se x < 2; kx², se x ≥ 2 };
[a] Se t = tg(x / 2), para -pi < x < pi, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
cos(x / 2) = 1 / raiz(1 + t^2) e sen(x / 2) = t / raiz(1 + t^2)
[b] Mostre que
cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) e sen(x) = 2t / (1 + t^2)
[c] Mostre que
dx = cos(x) = 2 / (1 + t^2) dt
[5] integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x
[7] integral-infty^0 13-4 x d x
[9] integral2^infty e^-5 p d p
[11] integral0^infty x^2raiz1+x^3 d x
[13] integral-infty^infty x e^-x^2 d x
[15] integral0^infty sen^2(alpha) d alpha
[17] integral1^infty x+1x^2+2 x d x
[18] integral0^infty 1z^2+3 z+2 d z
[19] integrale^infty 1x(ln (x))^3 d x
[21] integral-infty^infty x^29+x^6 d x
[23] integral-infty^0 zz^4+4 d z
[26] integral1^infty 1raizx+x raizx d x
[28] integral0^5 1raiz[3]5-x d x
[29] integral0^1 3x^5 d x
[31] integral-2^3 1x^4 d x
[32] integral0^1 1raiz1-x^2 d x
[33] integral0^3 1x^2-6 x+5 d x
[35] integral0^pi / 2 tg^2(theta) d theta
[36] integral0^4 1x^2-x-2 d x
[37] integral0^1 r ln (r) d r
[38] integral0^pi / 2 cos (theta)raizsen(theta) d theta