Dizemos que uma função é harmônica se
. Mostre que a função
dada por
é harmônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
é harmônica. Ser harmônica significa que a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a
,
e
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. A função é
. A primeira derivada em relação a
é:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiramente, a primeira derivada em relação a
é:
Derivando de novo em relação a
:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada em relação a
é:
Derivando novamente em relação a
:
Resposta
Somando as segundas derivadas parciais:
Portanto, a função
é harmônica.
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[36]
[37]
[38]
[a] Se
, para
, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
[b] Mostre que
[c] Mostre que
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
j) ;
j)
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
k) ;
k)