Dizemos que uma função é harmônica se partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0. Mostre que a função p: R^3 R dada por p(x, y, z)=2 x^2-y^2-z^2 é harmônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função é harmônica. Ser harmônica significa que a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a , e é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial ppartial x = partialpartial x(2x^2) - partialpartial x(y^2) - partialpartial x(z^2) = 4x em relação a partial^2 ppartial x^2 = partialpartial x(4x) = 4 . A função é . A primeira derivada em relação a é:
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial ppartial y = partialpartial y(2x^2) - partialpartial y(y^2) - partialpartial y(z^2) = -2y em relação a partial^2 ppartial y^2 = partialpartial y(-2y) = -2 . Primeiramente, a primeira derivada em relação a é:
Derivando de novo em relação a :

Passo 4

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial ppartial z = partialpartial z(2x^2) - partialpartial z(y^2) - partialpartial z(z^2) = -2z em relação a partial^2 ppartial z^2 = partialpartial z(-2z) = -2 . Primeiro, a primeira derivada em relação a é:
Derivando novamente em relação a :

Resposta

Somando as segundas derivadas parciais:
partial^2 ppartial x^2 + partial^2 ppartial y^2 + partial^2 ppartial z^2 = 4 + (-2) + (-2) = 0
Portanto, a função é harmônica.

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