[a] Se
, para
, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
[b] Mostre que
[c] Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício tem três partes ([a], [b] e [c]) e envolve trigonometria, mais especificamente a relação entre o ângulo
e a tangente de
. A gente vai usar identidades trigonométricas para provar algumas igualdades envolvendo seno e cosseno. Precisamos lembrar das fórmulas de ângulo duplo e como expressar funções trigonométricas em termos da tangente de metade do ângulo.
Passo 2
Vamos começar pela parte [a]. A gente tem que mostrar que:
onde
.
Primeiro, lembramos que em um triângulo retângulo, se
, podemos considerar os catetos como
e 1, e a hipotenusa será
. Assim:
Isso confirma as igualdades da parte [a].
Passo 3
Agora vamos para a parte [b]. Precisamos mostrar que:
Continuando com
, usamos as fórmulas de ângulo duplo:
Substituindo as expressões que encontramos na parte [a]:
Assim, provamos as igualdades da parte [b].
Passo 4
Por fim, vamos para a parte [c]. Precisamos mostrar que:
Sabemos que
, então vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Isso confirma a igualdade da parte [c].
Resposta
Provar as igualdades das partes [a], [b] e [c] utilizando as identidades trigonométricas e a substituição
foi concluído com sucesso.
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Dizemos que uma função é harmônica se
. Mostre que a função
dada por
é harmônica.