[a] Se t = tg(x / 2), para -pi < x < pi, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
cos(x / 2) = 1 / raiz(1 + t^2) e sen(x / 2) = t / raiz(1 + t^2)
[b] Mostre que
cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) e sen(x) = 2t / (1 + t^2)
[c] Mostre que
dx = cos(x) = 2 / (1 + t^2) dt

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício tem três partes ([a], [b] e [c]) e envolve trigonometria, mais especificamente a relação entre o ângulo e a tangente de . A gente vai usar identidades trigonométricas para provar algumas igualdades envolvendo seno e cosseno. Precisamos lembrar das fórmulas de ângulo duplo e como expressar funções trigonométricas em termos da tangente de metade do ângulo.

Passo 2

Vamos começar pela parte [a]. A gente tem que mostrar que:
onde .
Primeiro, lembramos que em um triângulo retângulo, se , podemos considerar os catetos como e 1, e a hipotenusa será . Assim:
Isso confirma as igualdades da parte [a].

Passo 3

Agora vamos para a parte [b]. Precisamos mostrar que:
Continuando com , usamos as fórmulas de ângulo duplo:
Substituindo as expressões que encontramos na parte [a]:
Assim, provamos as igualdades da parte [b].

Passo 4

Por fim, vamos para a parte [c]. Precisamos mostrar que:
Sabemos que , então vamos derivar ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Isso confirma a igualdade da parte [c].

Resposta

Provar as igualdades das partes [a], [b] e [c] utilizando as identidades trigonométricas e a substituição foi concluído com sucesso.

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