[a] Se t = tg(x / 2), para -pi < x < pi, esboce um triângulo retângulo ou use identidades trigonométricas para mostrar que
cos(x / 2) = 1 / raiz(1 + t^2) e sen(x / 2) = t / raiz(1 + t^2)
[b] Mostre que
cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) e sen(x) = 2t / (1 + t^2)
[c] Mostre que
dx = cos(x) = 2 / (1 + t^2) dt

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício tem três partes ([a], [b] e [c]) e envolve trigonometria, mais especificamente a relação entre o ângulo e a tangente de . A gente vai usar identidades trigonométricas para provar algumas igualdades envolvendo seno e cosseno. Precisamos lembrar das fórmulas de ângulo duplo e como expressar funções trigonométricas em termos da tangente de metade do ângulo.

Passo 2

Vamos começar pela parte [a]. A gente tem que mostrar que:
onde .
Primeiro, lembramos que em um triângulo retângulo, se , podemos considerar os catetos como e 1, e a hipotenusa será . Assim:
Isso confirma as igualdades da parte [a].

Passo 3

Agora vamos para a parte [b]. Precisamos mostrar que:
Continuando com , usamos as fórmulas de ângulo duplo:
Substituindo as expressões que encontramos na parte [a]:
Assim, provamos as igualdades da parte [b].

Passo 4

Por fim, vamos para a parte [c]. Precisamos mostrar que:
Sabemos que , então vamos derivar ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Isso confirma a igualdade da parte [c].

Resposta

Provar as igualdades das partes [a], [b] e [c] utilizando as identidades trigonométricas e a substituição foi concluído com sucesso.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva
r = sen^3(theta / 3), 0 <= theta <= pi
Dada a curva parametrizada
&
x = t^2 + 4t, y = 2 - t, -4 <= t <= 1
b) Elimine o parâmetro para encontrar a equaçăo cartesiana.
[5] integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x
[7] integral-infty^0 13-4 x d x
[9] integral2^infty e^-5 p d p
[11] integral0^infty x^2raiz1+x^3 d x
[13] integral-infty^infty x e^-x^2 d x
[15] integral0^infty sen^2(alpha) d alpha
[17] integral1^infty x+1x^2+2 x d x
[18] integral0^infty 1z^2+3 z+2 d z
[19] integrale^infty 1x(ln (x))^3 d x
[21] integral-infty^infty x^29+x^6 d x
[23] integral-infty^0 zz^4+4 d z
[26] integral1^infty 1raizx+x raizx d x
[28] integral0^5 1raiz[3]5-x d x
[29] integral0^1 3x^5 d x
[31] integral-2^3 1x^4 d x
[32] integral0^1 1raiz1-x^2 d x
[33] integral0^3 1x^2-6 x+5 d x
[35] integral0^pi / 2 tg^2(theta) d theta
[36] integral0^4 1x^2-x-2 d x
[37] integral0^1 r ln (r) d r
[38] integral0^pi / 2 cos (theta)raizsen(theta) d theta
Dizemos que uma função é harmônica se partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0. Mostre que a função p: R^3 R dada por p(x, y, z)=2 x^2-y^2-z^2 é harmônica.