1-50 Calcule y'.
Se f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), mostre que
f'(x)/f(x) = 1/(x-a) + 1/(x-b) + 1/(x-c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a derivada dela, ou seja, . Depois disso, queremos mostrar que é igual a . Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto para derivadas e um pouco de álgebra. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, digamos e , a derivada dela é:
No nosso caso, temos três fatores: , e . Para derivar , vamos aplicar a regra do produto de forma sequencial.

Passo 3

Vamos derivar passo a passo.
Primeiro, derivamos o primeiro fator e deixamos os outros dois iguais:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aplicando novamente a Regra do Produto:
Então:

Passo 5

Voltando ao :
Vamos distribuir o :

Passo 6

Agora, vamos fatorar de forma a facilitar a divisão por . Observe que cada termo de tem um , ou . Assim, podemos escrever:

Passo 7

Perceba que . Então, temos:

Resposta

Então, mostramos que:

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