1-50 Calcule
.
Se
, mostre que
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a derivada dela, ou seja,
. Depois disso, queremos mostrar que
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto para derivadas e um pouco de álgebra. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, digamos
e
, a derivada dela é:
No nosso caso, temos três fatores:
,
e
. Para derivar
, vamos aplicar a regra do produto de forma sequencial.
Passo 3
Vamos derivar
passo a passo.
Primeiro, derivamos o primeiro fator e deixamos os outros dois iguais:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aplicando novamente a Regra do Produto:
Então:
Passo 5
Voltando ao
:
Vamos distribuir o
:
Passo 6
Agora, vamos fatorar
de forma a facilitar a divisão por
. Observe que cada termo de
tem um
,
ou
. Assim, podemos escrever:
Passo 7
Perceba que
. Então, temos:
Resposta
Então, mostramos que:
Exercícios relacionados
1-50 Calcule
.
1-50 Calcule
.
Encontre uma parábola
que passe pelo ponto
e cujas retas tangentes em
e
tenham inclinaçōes
, respectivamente.
1-50 Calcule
.