Encontre uma parábola que passe pelo ponto e cujas retas tangentes em e tenham inclinaçōes , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os coeficientes , e de uma parábola da forma . Sabemos que essa parábola passa pelo ponto e que as retas tangentes a ela nos pontos e têm inclinações e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre derivadas para encontrar as inclinações das tangentes e sistemas de equações para determinar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto . Substituindo esses valores na equação da parábola:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :

Passo 4

Usando a derivada, sabemos que a inclinação da tangente em é . Então:

Passo 5

Da mesma forma, a inclinação da tangente em é . Aplicando isso na derivada:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar e .
Subtraindo a equação 2 da equação 3:

Passo 7

Com , substituímos na equação 2 para encontrar :

Passo 8

Agora, usamos os valores de e na equação 1 para encontrar :

Resposta

A equação da parábola é:

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