1-50 Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular , onde . Isso envolve derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a derivação. Temos .
Sabemos que uma propriedade dos logaritmos diz que . Aplicando isso:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Podemos simplificar ainda mais a expressão multiplicando os coeficientes:
Agora, a função está mais fácil de derivar.

Passo 4

Agora, vamos derivar . Lembre-se de que , então podemos reescrever a função como:
Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. Se , então .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Agora, precisamos derivar . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se e , então:
Calculando e :
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos reescrever como .

Passo 8

Então, a derivada final fica:

Resposta

A derivada de é:

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Se , mostre que