1-50 Calcule y'.
y = tg(t/(1+t^2))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Este exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente utilizando regras de derivação de funções compostas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função tangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função composta, ou seja, temos uma função externa onde . Para derivar em relação a , vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à função interna vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função composta:
  • Função externa:
  • Função interna:
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente, que nos diz que se , então:
Aqui, e .
Derivando e :
Aplicando na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
Substituindo e :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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