1-50 Calcule y'.
y = ((x^2 + 1)^4) / ((2*x + 1)^3 * (3*x - 1)^5)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função:
Vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia, para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função como um quociente de duas funções:
onde:
Precisamos aplicar a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos calcular . Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta. Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Note que é o produto de duas funções:
Usaremos a Regra do Produto, que diz que:
onde:
Calculando e usando a Regra da Cadeia:
Então:
Podemos fatorar :
Simplificando dentro do colchete:
Então:

Passo 5

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Fatorando termos comuns no numerador:
Simplificando os denominadores com o numerador:

Passo 7

Expandindo os termos dentro do colchete:
Subtraindo:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A derivada é:

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