1-50 Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , onde é dado por:
Vamos usar o conteúdo de Derivadas, mais especificamente, a Regra do Quociente, que é útil quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem nosso quociente. Vamos chamar:
Nossa função original fica então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação a . Vamos começar com :
Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de em relação a é:
Agora, vamos derivar :
A derivada de em relação a é:
(Note que a derivada de em relação a é zero porque é uma constante.)

Passo 4

Com , , e calculados, podemos aplicar a Regra do Quociente para encontrar :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão do numerador:
Podemos fatorar dos dois termos:
Agora, vamos simplificar dentro dos colchetes:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar dentro dos parênteses:
Lembrando que pode ser fatorado como , mas para simplificar, vamos manter a expressão como está.

Resposta

Então, a derivada de em relação a é:

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Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra da Multiplicação por Constante