Considere a equação
em que é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, é uma constante real. O que precisamos descobrir é para quais valores de a solução vai tender a zero quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente analisando as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos por , por e por 1 na equação:
Essa é uma equação quadrática em que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 3

Vamos simplificar o discriminante da fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes ficam:

Passo 4

Para que a solução tenda a zero quando , precisamos que ambas as raízes tenham partes reais negativas. Isso ocorre quando o discriminante é positivo e as raízes são reais e negativas, ou quando são complexas com parte real negativa.

Passo 5

Vamos analisar o discriminante . Primeiro, determinamos onde :
Resolvendo essa desigualdade, encontramos os valores de para os quais as raízes são reais.

Passo 6

Usando a fórmula de Bhaskara para a desigualdade:
Portanto, quando ou .

Passo 7

Agora, precisamos garantir que as raízes tenham partes reais negativas. Analisando a expressão das raízes:
Para , ambas as raízes serão negativas. Para , uma raiz será positiva, o que não satisfaz nossa condição.

Passo 8

Além disso, para valores de entre e , o discriminante é negativo, resultando em raízes complexas com parte real negativa, o que também leva a zero quando .

Resposta

A solução tende a zero quando para todos os valores de tais que:

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam raízes de multiplicidade 2,1 e 3 , respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea correspondente, se ela for:
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Considere a equação
em que é uma constante real.
Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral .