(1,50) Considere a equação
3 y^prime prime-lambda y^prime+(lambda+3) y=0
em que lambda é uma constante real.
Para qual faixa de valores de lambda tem-se lim x infty y(x)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
3 y'' - lambda y' + (lambda + 3) y = 0
Aqui, lambda é uma constante real. O que precisamos descobrir é para quais valores de lambda a solução y(x) vai tender a zero quando x tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente analisando as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1 na equação:
3r^2 - lambda r + (lambda + 3) = 0
Essa é uma equação quadrática em r que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r = lambda pm raizlambda^2 - 4 cdot 3 cdot (lambda + 3)2 cdot 3

Passo 3

Vamos simplificar o discriminante da fórmula de Bhaskara:
De
Então, as raízes ficam:
r = lambda pm raizlambda^2 - 12lambda - 366

Passo 4

Para que a solução y(x) tenda a zero quando x to infty, precisamos que ambas as raízes tenham partes reais negativas. Isso ocorre quando o discriminante é positivo e as raízes são reais e negativas, ou quando são complexas com parte real negativa.

Passo 5

Vamos analisar o discriminante De. Primeiro, determinamos onde De= 0:
lambda^2 - 12lambda - 36 >= 0
Resolvendo essa desigualdade, encontramos os valores de lambda para os quais as raízes são reais.

Passo 6

Usando a fórmula de Bhaskara para a desigualdade:
lambda = 12 pm raiz144 + 1442 = 12 pm raiz2882 = 12 pm 12raiz22 = 6 pm 6raiz2
Portanto, De= 0 quando lambda <= 6 - 6raiz2 ou lambda >= 6 + 6raiz2.

Passo 7

Agora, precisamos garantir que as raízes tenham partes reais negativas. Analisando a expressão das raízes:
r = lambda pm raizDe
Para lambda <= 6 - 6raiz2, ambas as raízes serão negativas. Para lambda >= 6 + 6raiz2, uma raiz será positiva, o que não satisfaz nossa condição.

Passo 8

Além disso, para valores de lambda entre 6 - 6raiz2 e 6 + 6raiz2, o discriminante é negativo, resultando em raízes complexas com parte real negativa, o que também leva y(x) a zero quando x to infty.

Resposta

A solução y(x) tende a zero quando x to infty para todos os valores de lambda tais que:
lambda <= 6 - 6raiz2 ou lambda in R

Exercícios relacionados