Considere a equação
em que
é uma constante real.
Para qual faixa de valores de
tem-se
?
Para qual faixa de valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui,
é uma constante real. O que precisamos descobrir é para quais valores de
a solução
vai tender a zero quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente analisando as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1 na equação:
Essa é uma equação quadrática em
que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Vamos simplificar o discriminante da fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes ficam:
Passo 4
Para que a solução
tenda a zero quando
, precisamos que ambas as raízes tenham partes reais negativas. Isso ocorre quando o discriminante é positivo e as raízes são reais e negativas, ou quando são complexas com parte real negativa.
Passo 5
Vamos analisar o discriminante
. Primeiro, determinamos onde
:
Resolvendo essa desigualdade, encontramos os valores de
para os quais as raízes são reais.
Passo 6
Usando a fórmula de Bhaskara para a desigualdade:
Portanto,
quando
ou
.
Passo 7
Agora, precisamos garantir que as raízes tenham partes reais negativas. Analisando a expressão das raízes:
Para
, ambas as raízes serão negativas. Para
, uma raiz será positiva, o que não satisfaz nossa condição.
Passo 8
Além disso, para valores de
entre
e
, o discriminante é negativo, resultando em raízes complexas com parte real negativa, o que também leva
a zero quando
.
Resposta
A solução
tende a zero quando
para todos os valores de
tais que:
Exercícios relacionados
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
em que
é uma constante real.
Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
Usando